- 数学B｜数列「bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式
数列 54☆漸化式 \(a_1=2 ~,~\)\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n+1}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式
Point：bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式
① 漸化式の両辺を \(2^{n+1}\) で割る。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+ \displaystyle \frac{\,3\cdot 2^{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+3
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(b_{n+1}=b_n+3~,~b_1=1\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) と置き換える漸化式は、
① 漸化式の両辺を \(2^{n+1}\) で割る。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+ \displaystyle \frac{\,3\cdot 2^{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+3
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(b_{n+1}=b_n+3~,~b_1=1\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式
数列 54☆
漸化式 \(a_1=2 ~,~\)\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n+1}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n+1}\) の両辺を \(2^{n+1}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+ \displaystyle \frac{\,3\cdot 2^{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}+3
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+3
\end{eqnarray}\)
ここで \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2^{1}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=2\,)\)
これより、
\(b_{n+1}=b_n+3~,~b_1=1\)
初項 \(1\)、公差 \(3\) の等差数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1+(n-1)\cdot 3
\\[5pt]~~~&=&1+3n-3
\\[5pt]~~~&=&3n-2
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}&=&3n-2
\\[5pt]~~~a_n&=&(3n-2)\cdot 2^{n}
\end{eqnarray}\)
