- 数学B｜数列「bₙ=1/aₙと置き換える漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜bₙ=1/aₙと置き換える漸化式
数列 55☆漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3a_n+1\,}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
bₙ=1/aₙと置き換える漸化式
Point：bₙ=1/aₙと置き換える漸化式
① 漸化式の両辺の逆数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{1}{a_n}+3
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&b_n+3~,~b_1=1\end{eqnarray}\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
\( b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,} \) と置き換える漸化式は、
① 漸化式の両辺の逆数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{1}{a_n}+3
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&b_n+3~,~b_1=1\end{eqnarray}\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
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詳しい解説｜bₙ=1/aₙと置き換える漸化式
数列 55☆
漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3a_n+1\,}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+1}= \displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3a_n+1\,}\) より、両辺の逆数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{3a_n}{a_n}+\displaystyle \frac{1}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&3+\displaystyle \frac{1}{a_n}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=\displaystyle \frac{1}{1}=1\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=1\,)\)
これより、
\(b_{n+1}=b_n+3~,~b_1=1\)
初項 \(1\)、公差 \(3\) の等差数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1+3(n-1)
\\[5pt]~~~&=&1+3n-3
\\[5pt]~~~&=&3n-2
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&3n-2
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\,3n-2\,}
\end{eqnarray}\)
