- 数学B｜数列「2つの解をもつ隣接3項間漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの解をもつ隣接3項間漸化式
数列 57☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
2つの解をもつ隣接3項間漸化式
Point：2つの解をもつ隣接3項間漸化式
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、異なる2つの解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=\alpha~,~\beta\)
② 漸化式を式変形した2つの漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=&\beta\left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=&\alpha \left(a_{n+1}-\beta a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
③ それぞれを等比数列とし一般項を求め、辺々を引いて \(a_{n+1}\) を消去し、一般項 \(a_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}-\alpha a_n&=&\left(a_2-\alpha a_1\right)\cdot \beta^{\,n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-\beta a_n&=&\left(a_2-\beta a_1\right)\cdot \alpha^{\,n-1}\\
\hline
\end{eqnarray}\)
隣接3項間漸化式で、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、異なる2つの解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=\alpha~,~\beta\)
② 漸化式を式変形した2つの漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=&\beta\left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=&\alpha \left(a_{n+1}-\beta a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
③ それぞれを等比数列とし一般項を求め、辺々を引いて \(a_{n+1}\) を消去し、一般項 \(a_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}-\alpha a_n&=&\left(a_2-\alpha a_1\right)\cdot \beta^{\,n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-\beta a_n&=&\left(a_2-\beta a_1\right)\cdot \alpha^{\,n-1}\\
\hline
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜2つの解をもつ隣接3項間漸化式
数列 57☆
隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-5x+6&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2~,~3
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-5x+6&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2~,~3
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-2a_{n+1}&=&3\left(a_{n+1}-2a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}-3a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-3a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-2a_1=1-2\cdot0=1\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2a_n&=&1\cdot3^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}-2a_n&=&3^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-3a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-3a_1=1-3\cdot0=1\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-3a_n&=&1\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}-3a_n&=&2^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}-2a_n&=&3^{n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-3a_n&=&2^{n-1}\\
\hline a_n&=&3^{n-1}-2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
