- 数学B｜数列「数学的帰納法を用いる等式の証明」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜数学的帰納法を用いる等式の証明
数列 62すべての自然数 \(n\) についての等式 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\) の証明方法は？(数学的帰納法)
高校数学B｜数列
解法のPoint
数学的帰納法を用いる等式の証明
Point：数学的帰納法を用いる等式の証明
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、等式が成り立つことを示す。
\(n=1\) のとき、
左辺 \(=1\)、右辺 \(=1^2=1\) で成り立つ
② \(n=k\) のとき、等式が成り立つと仮定する。
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \(n=k+1\) のときの等式の左辺を \(\small [\,2\,]\) を用いて右辺の形にして、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
よって、\(n=k+1\) のときも成り立つ
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
自然数 \(n\) についての等式の数学的帰納法の証明方法は、
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、等式が成り立つことを示す。
\(n=1\) のとき、
左辺 \(=1\)、右辺 \(=1^2=1\) で成り立つ
② \(n=k\) のとき、等式が成り立つと仮定する。
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \(n=k+1\) のときの等式の左辺を \(\small [\,2\,]\) を用いて右辺の形にして、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
よって、\(n=k+1\) のときも成り立つ
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜数学的帰納法を用いる等式の証明
数列 62
すべての自然数 \(n\) についての等式 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\) の証明方法は？(数学的帰納法)
高校数学B｜数列
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(1^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2k-1)+\{\,2(k+1)-1\,\}
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
