- 数学B｜数列「数学的帰納法を用いる整数の性質の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜数学的帰納法を用いる整数の性質の証明
数列 63すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることの証明方法は？(数学的帰納法)
高校数学B｜数列
解法のPoint
数学的帰納法を用いる整数の性質の証明
Point：数学的帰納法を用いる整数の性質の証明
\(3^n-1\) が偶数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つことを示す。
\(3^1-1=2\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
② \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定する。
\(3^k-1\) が偶数である
\(~\Leftrightarrow ~ \) \(3^k-1=2m~~\)( \(m\) は整数 )\(~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) が成り立つことを \(\small [\,2\,]\) を用いて示す。
\(\begin{eqnarray}~~~3^{k+1}-1&=&3(2m+1)-1
\\[3pt]~~~&=&2(3m+1)
\end{eqnarray}\)
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
すべての自然数 \(n\) について、倍数についての数学的帰納法の証明方法は、
\(3^n-1\) が偶数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
① \(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つことを示す。
\(3^1-1=2\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
② \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定する。
\(3^k-1\) が偶数である
\(~\Leftrightarrow ~ \) \(3^k-1=2m~~\)( \(m\) は整数 )\(~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
③ \(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) が成り立つことを \(\small [\,2\,]\) を用いて示す。
\(\begin{eqnarray}~~~3^{k+1}-1&=&3(2m+1)-1
\\[3pt]~~~&=&2(3m+1)
\end{eqnarray}\)
④ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
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詳しい解説｜数学的帰納法を用いる整数の性質の証明
数列 63
すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることの証明方法は？(数学的帰納法)
高校数学B｜数列
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(3^n-1\) が偶数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(3^1-1=2\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~3^k-1&=&2m
\\[3pt]~~~3^k&=&2m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&3^1\cdot 3^k-1
\\[3pt]~~~&=&3\left(2m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&6m+3-1
\\[3pt]~~~&=&6m+2
\\[3pt]~~~&=&2\left(3m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(3m+1\) は整数より、\(3^{k+1}-1\) は偶数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
