- 数学B｜数列「数学的帰納法を用いる一般項の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜数学的帰納法を用いる一般項の証明
数列 65漸化式 \(a_1=1 ~,~\)\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}~~\)\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) の一般項を推定して、数学的帰納法で証明する方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
数学的帰納法を用いる一般項の証明
Point：数学的帰納法を用いる一般項の証明
\(a_1=1 ~,~\)\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
① \(n=1~,~2~,~3\) のときの漸化式より \(a_2~,~a_3~,~a_4\) を求めて、一般項 \(a_n\) を推測する。
\(a_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~a_3=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~a_4=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\) より、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
② \(n=1\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つことを示す。
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\cdot 1-1\,}=1\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
③ \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定する。
\(a_k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
④ \(n=k+1\) のとき、漸化式と \(\small [\,2\,]\) より \(a_{k+1}\) を求め、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
\(a_{k+1}=\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(a_{k+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(k+1)-1\,}\)
⑤ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
漸化式から一般項を推測して、数学的帰納法で証明する方法は、
\(a_1=1 ~,~\)\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
① \(n=1~,~2~,~3\) のときの漸化式より \(a_2~,~a_3~,~a_4\) を求めて、一般項 \(a_n\) を推測する。
\(a_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~a_3=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~a_4=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\) より、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
【数学的帰納法】
② \(n=1\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つことを示す。
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\cdot 1-1\,}=1\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
③ \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定する。
\(a_k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
④ \(n=k+1\) のとき、漸化式と \(\small [\,2\,]\) より \(a_{k+1}\) を求め、\(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
\(a_{k+1}=\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(a_{k+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(k+1)-1\,}\)
⑤ 数学的帰納法より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ。
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詳しい解説｜数学的帰納法を用いる一般項の証明
数列 65
漸化式 \(a_1=1 ~,~\)\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}~~\)\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) の一般項を推定して、数学的帰納法で証明する方法は？
高校数学B｜数列
初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2a_1+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&\displaystyle \frac{\,a_2\,}{\,2a_2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}3\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\right){\, \small \times \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&\displaystyle \frac{\,a_3\,}{\,2a_3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}+1\right){\, \small \times \,}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+5\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\cdot 1-1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~~~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}\,}{\,2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}{\, \small \times \,}(2k-1)\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2k-1\,}+1\right){\, \small \times \,}(2k-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+(2k-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(k+1)-1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}\)
