- 数学B｜数列「二項定理を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜二項定理を用いた証明
数列 66☆すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることを二項定理を用いて証明する方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
二項定理を用いた証明
Point：二項定理を用いた証明
\(3^n-1\) が偶数である
① 指数関数部分を \( (a+1)^n \) に式変形して、二項定理を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^n-1
\\[5pt]~~~&=&(2+1)^n-1
\\[5pt]~~~&=&2^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-1}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n-1
\\[5pt]~~~&=&2\left(2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)\end{eqnarray}\)
② 与えられた式が、倍数であることを示す。
倍数の性質の二項定理を用いた証明方法は、
\(3^n-1\) が偶数である
① 指数関数部分を \( (a+1)^n \) に式変形して、二項定理を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^n-1
\\[5pt]~~~&=&(2+1)^n-1
\\[5pt]~~~&=&2^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-1}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n-1
\\[5pt]~~~&=&2\left(2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)\end{eqnarray}\)
② 与えられた式が、倍数であることを示す。
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詳しい解説｜二項定理を用いた証明
数列 66☆
すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることを二項定理を用いて証明する方法は？
高校数学B｜数列
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^n-1
\\[5pt]~~~&=&(2+1)^n-1
\end{eqnarray}\)
ここで、二項定理より \((2+1)^n\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-1}\cdot 1^1+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 2^{n-2}\cdot 1^2+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^{n-3}\cdot 1^3+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 2\cdot 1^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_n\cdot 1^n-1
\\[5pt]~~~&=&2^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 2^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^{n-3}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 2+1-1
\\[5pt]~~~&=&2\,\left(2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 2^{n-3}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^{n-4}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 2^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^{n-3}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 2+1-1
\\[5pt]~~~&=&2\,\left(2^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 2^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 2^{n-3}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^{n-4}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
かっこの中が整数より、\(3^n-1\) は偶数となる [終]
