このページは、「等差数列の項から一般項を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
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等差数列の項から一般項を求める で確認できます。
問題アーカイブ01
(1) 初項と公差を求めよ。また、一般項を求めよ。
(2) \( -48 \) は第何項か。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.11 練習7
初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=10 \) のとき、\( a_{10}=30 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(10-1)d&=&30
\\[3pt]~~~a+9d&=&30~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=20 \) のとき、\( a_{20}=0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(20-1)d&=&0
\\[3pt]~~~a+19d&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+19d&=&0 \\[3pt]
-\big{)}~~a+9d&=&30\\[3pt]
\hline 0+10d&=&-30
\\[3pt] d&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+9\cdot(-3)&=&30
\\[3pt]~~~a-27&=&30
\\[3pt]~~~a&=&57
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=57 \)、公差 \( d=-3 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&57+(n-1)\cdot(-3)
\\[3pt]~&=&57-3n+3
\\[3pt]~~~&=&-3n+60
\end{eqnarray}\)
次に、第 \(n\) 項が \(-48\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~-3n+60&=&-48
\\[3pt]~~~-3n&=&-108
\\[3pt]~~~n&=&36
\end{eqnarray}\)
よって、\(-48\) は第 \(36\) 項である
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) 第 \( 4 \) 項が \( 15 \)、第 \( 8 \) 項が \( 27 \)
\({\small (2)}~\) 第 \( 5 \) 項が \( 20 \)、第 \( 10 \) 項が \( 0 \)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.11 練習7
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.11 練習7
\({\small (1)}~\)初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=4 \) のとき、\( a_{4}=15 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(4-1)d&=&15
\\[3pt]~~~a+3d&=&15~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=8 \) のとき、\( a_{8}=27 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(8-1)d&=&27
\\[3pt]~~~a+7d&=&27~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+7d&=&27 \\[3pt]
-\big{)}~~a+3d&=&15\\[3pt]
\hline 0+4d&=&12
\\[3pt] d&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+3\cdot3&=&15
\\[3pt]~~~a+9&=&15
\\[3pt]~~~a&=&6
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=6 \)、公差 \( d=3 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&6+(n-1)\cdot3
\\[3pt]~&=&6+3n-3
\\[3pt]~~~&=&3n+3
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=5 \) のとき、\( a_{5}=20 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(5-1)d&=&20
\\[3pt]~~~a+4d&=&20~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=10 \) のとき、\( a_{10}=0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(10-1)d&=&0
\\[3pt]~~~a+9d&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+9d&=&0 \\[3pt]
-\big{)}~~a+4d&=&20\\[3pt]
\hline 0+5d&=&-20
\\[3pt] d&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot(-4)&=&20
\\[3pt]~~~a-16&=&20
\\[3pt]~~~a&=&36
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=36 \)、公差 \( d=-4 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&36+(n-1)\cdot(-4)
\\[3pt]~&=&36-4n+4
\\[3pt]~~~&=&-4n+40
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\) \( 70 \)
\({\small (2)}~\) \( 123 \)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.49 章末問題A 1
初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=4 \) のとき、\( a_{4}=14 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(4-1)d&=&14
\\[3pt]~~~a+3d&=&14~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=8 \) のとき、\( a_{8}=30 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(8-1)d&=&30
\\[3pt]~~~a+7d&=&30~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+7d&=&30 \\[3pt]
-\big{)}~~a+3d&=&14\\[3pt]
\hline 0+4d&=&16
\\[3pt] d&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+3\cdot4&=&14
\\[3pt]~~~a+12&=&14
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=2 \)、公差 \( d=4 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&2+(n-1)\cdot4
\\[3pt]~&=&2+4n-4
\\[3pt]~~~&=&4n-2
\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)第 \(n\) 項が \(70\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-2&=&70
\\[3pt]~~~4n&=&72
\\[3pt]~~~n&=&18
\end{eqnarray}\)
\( n=18 \) は自然数なので、\(70\) はこの数列の項であり、第 \(18\) 項である
\({\small (2)}~\)第 \(n\) 項が \(123\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-2&=&123
\\[3pt]~~~4n&=&125
\\[3pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数にならないので、\(123\) はこの数列の項ではない
問題アーカイブ04
\({\small (1)}~\) \( 70 \)
\({\small (2)}~\) \( 124 \)
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.46 章末問題A 1
初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=4 \) のとき、\( a_{4}=14 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(4-1)d&=&14
\\[3pt]~~~a+3d&=&14~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=8 \) のとき、\( a_{8}=30 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(8-1)d&=&30
\\[3pt]~~~a+7d&=&30~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+7d&=&30 \\[3pt]
-\big{)}~~a+3d&=&14\\[3pt]
\hline 0+4d&=&16
\\[3pt] d&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+3\cdot4&=&14
\\[3pt]~~~a+12&=&14
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=2 \)、公差 \( d=4 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&2+(n-1)\cdot4
\\[3pt]~&=&2+4n-4
\\[3pt]~~~&=&4n-2
\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)第 \(n\) 項が \(70\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-2&=&70
\\[3pt]~~~4n&=&72
\\[3pt]~~~n&=&18
\end{eqnarray}\)
\( n=18 \) は自然数なので、\(70\) はこの数列の項であり、第 \(18\) 項である
\({\small (2)}~\)第 \(n\) 項が \(124\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-2&=&124
\\[3pt]~~~4n&=&126
\\[3pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,126\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,63\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数にならないので、\(124\) はこの数列の項ではない
問題アーカイブ05
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.10 問6
初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_{3}=-6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(3-1)d&=&-6
\\[3pt]~~~a+2d&=&-6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=10 \) のとき、\( a_{10}=29 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(10-1)d&=&29
\\[3pt]~~~a+9d&=&29~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+9d&=&29 \\[3pt]
-\big{)}~~a+2d&=&-6\\[3pt]
\hline 0+7d&=&35
\\[3pt] d&=&5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2\cdot5&=&-6
\\[3pt]~~~a+10&=&-6
\\[3pt]~~~a&=&-16
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=-16 \)、公差 \( d=5 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&-16+(n-1)\cdot5
\\[3pt]~&=&-16+5n-5
\\[3pt]~~~&=&5n-21
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題 1
初項 \( a=8 \)、公差 \( d=7 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&8+(n-1)\cdot7
\\[3pt]~&=&8+7n-7
\\[3pt]~~~&=&7n+1
\end{eqnarray}\)
第 \(n\) 項が \(400\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~7n+1&=&400
\\[3pt]~~~7n&=&399
\\[3pt]~~~n&=&57
\end{eqnarray}\)
\( n=57 \) は自然数なので、\(400\) はこの数列の項であり、第 \(57\) 項である
問題アーカイブ07
\({\small (1)}~\) 初項が \( 3 \)、第 \( 15 \) 項が \( 87 \)
\({\small (2)}~\) 第 \( 3 \) 項が \( 6 \)、第 \( 10 \) 項が \( -29 \)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.15 問8
\({\small (1)}~\)初項 \( a=3 \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=15 \) のとき、\( a_{15}=87 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3+(15-1)d&=&87
\\[3pt]~~~3+14d&=&87
\\[3pt]~~~14d&=&84
\\[3pt]~~~d&=&6
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=3 \)、公差 \( d=6 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&3+(n-1)\cdot6
\\[3pt]~&=&3+6n-6
\\[3pt]~~~&=&6n-3
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_{3}=6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(3-1)d&=&6
\\[3pt]~~~a+2d&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=10 \) のとき、\( a_{10}=-29 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(10-1)d&=&-29
\\[3pt]~~~a+9d&=&-29~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+9d&=&-29 \\[3pt]
-\big{)}~~a+2d&=&6\\[3pt]
\hline 0+7d&=&-35
\\[3pt] d&=&-5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2\cdot(-5)&=&6
\\[3pt]~~~a-10&=&6
\\[3pt]~~~a&=&16
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=16 \)、公差 \( d=-5 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&16+(n-1)\cdot(-5)
\\[3pt]~&=&16-5n+5
\\[3pt]~~~&=&-5n+21
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ08
\({\small (1)}~\) 初項が \( -2 \)、第 \( 5 \) 項が \( 26 \)
\({\small (2)}~\) 第 \( 3 \) 項が \( 41 \)、第 \( 7 \) 項が \( 29 \)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.26 Training 2
\({\small (1)}~\)初項 \( a=-2 \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=5 \) のとき、\( a_{5}=26 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+(5-1)d&=&26
\\[3pt]~~~-2+4d&=&26
\\[3pt]~~~4d&=&28
\\[3pt]~~~d&=&7
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=-2 \)、公差 \( d=7 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&-2+(n-1)\cdot7
\\[3pt]~&=&-2+7n-7
\\[3pt]~~~&=&7n-9
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_{3}=41 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(3-1)d&=&41
\\[3pt]~~~a+2d&=&41~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=7 \) のとき、\( a_{7}=29 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(7-1)d&=&29
\\[3pt]~~~a+6d&=&29~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a+6d&=&29 \\[3pt]
-\big{)}~~a+2d&=&41\\[3pt]
\hline 0+4d&=&-12
\\[3pt] d&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2\cdot(-3)&=&41
\\[3pt]~~~a-6&=&41
\\[3pt]~~~a&=&47
\end{eqnarray}\)
初項 \( a=47 \)、公差 \( d=-3 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&47+(n-1)\cdot(-3)
\\[3pt]~&=&47-3n+3
\\[3pt]~~~&=&-3n+50
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ09
\({\small (1)}~\) \(75\) は第何項か。
\({\small (2)}~\) 初めて \(300\) を超えるのは第何項か。
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.12 練習8
\({\small (1)}~\)初項 \( a=3 \)、公差 \( d=4 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&3+(n-1)\cdot4
\\[3pt]~&=&3+4n-4
\\[3pt]~~~&=&4n-1
\end{eqnarray}\)
第 \(n\) 項が \(75\) であると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-1&=&75
\\[3pt]~~~4n&=&76
\\[3pt]~~~n&=&19
\end{eqnarray}\)
よって、\(75\) は第 \(19\) 項である
\({\small (2)}~\)初項 \( a=3 \)、公差 \( d=4 \) より、一般項 \( a_n \) は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&3+(n-1)\cdot4
\\[3pt]~&=&3+4n-4
\\[3pt]~~~&=&4n-1
\end{eqnarray}\)
第 \(n\) 項が初めて \(300\) を超えると、
\(\begin{eqnarray}~~~4n-1&>&300
\\[3pt]~~~4n&>&301
\\[3pt]~~~n&>&75.25
\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数より、\(n=76\)
よって、初めて \(300\) を超えるのは第 \(76\) 項である
