- 数学B｜数列「2桁の条件の自然数の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜2桁の条件の自然数の和
数列 12\(2\) 桁の自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？また、\(3\) で割って \(2\) 余る数の和の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
2桁の条件の自然数の和
Point：2桁の条件の自然数の和
① \(2\) の倍数 \(2n\) となる自然数の数列を書き並べる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,10\,,\,12\,,\,14\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot5\,,\,2\cdot6\,,\,2\cdot7\,,\,\cdots\,,\,2\cdot49\,\}
\end{eqnarray}\)
② 初項と末項と項数を読み取る。
初項 \(a=10\)、末項 \(l=98\)。
項数は、\(2n\) の \(n\) が \(5\) 〜 \(49\) まであるので、
\(49-5+1=45\) 個より、項数 \(45\)
③ 等差数列の和の公式を用いる。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(a+l)\)
\(2\) 桁の自然数のうち、\(2\) の倍数の和の求め方は、
① \(2\) の倍数 \(2n\) となる自然数の数列を書き並べる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,10\,,\,12\,,\,14\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot5\,,\,2\cdot6\,,\,2\cdot7\,,\,\cdots\,,\,2\cdot49\,\}
\end{eqnarray}\)
② 初項と末項と項数を読み取る。
初項 \(a=10\)、末項 \(l=98\)。
項数は、\(2n\) の \(n\) が \(5\) 〜 \(49\) まであるので、
\(49-5+1=45\) 個より、項数 \(45\)
③ 等差数列の和の公式を用いる。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(a+l)\)
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詳しい解説｜2桁の条件の自然数の和
数列 12
\(2\) 桁の自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？また、\(3\) で割って \(2\) 余る数の和の求め方は？
高校数学B｜数列
\(2\) 桁の自然数 \(10\) 〜 \(99\) のうち、\(2\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,10\,,\,12\,,\,14\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot5\,,\,2\cdot6\,,\,2\cdot7\,,\,\cdots\,,\,2\cdot49\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(10\)、末項 \(98\) で、
\(2n\) の \(n\) が \(5\) 〜 \(49\) まであるので、
\(49-5+1=45\) 個より、項数 \(45\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 45\cdot \left(10+98\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 45\cdot 108
\\[5pt]~~~&=&45\cdot 54
\\[3pt]~~~&=&2430
\end{eqnarray}\)
\(3\) で割って \(2\) 余る数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,11\,,\,14\,,\,17\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot 3+2\,,\,3\cdot 4+2\,,\,3\cdot 5+2\,,\,\cdots\,,\,3\cdot 32+2\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot 3+2\,,\,3\cdot 4+2\,,\,3\cdot 5+2\,,\,\cdots\,,\,3\cdot 32+2\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(11\)、末項 \(98\) で、
\(3n+2\) の \(n\) が \(3\) 〜 \(32\) まであるので、
\(32-3+1=30\) 個より、項数 \(30\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 30\cdot \left(11+98\right)
\\[5pt]~~~&=&15\cdot 109
\\[3pt]~~~&=&1635
\end{eqnarray}\)
