このページは、「2桁の条件の自然数の和」の練習問題アーカイブページとなります。
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2桁の条件の自然数の和 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(10\) から \(100\) までの自然数のうち、次のような数の和を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(4\) で割って \(3\) 余る数
\({\small (2)}~\)\(4\) の倍数
\({\small (3)}~\)\(4\) で割り切れない数
\({\small (1)}~\)\(4\) で割って \(3\) 余る数
\({\small (2)}~\)\(4\) の倍数
\({\small (3)}~\)\(4\) で割り切れない数
数研出版｜数学Ｂ[710] p.15 練習13
\({\small (1)}~\)\(4\) で割って \(3\) 余る数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,11\,,\,15\,,\,19\,,\,\cdots\,,\,99\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,4\cdot 2+3\,,\,4\cdot 3+3\,,\,4\cdot 4+3\,,\,\cdots\,,\,4\cdot 24+3\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,4\cdot 2+3\,,\,4\cdot 3+3\,,\,4\cdot 4+3\,,\,\cdots\,,\,4\cdot 24+3\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(11\)、末項 \(99\) で、
\(4n+3\) の \(n\) が \(2\) 〜 \(24\) まであるので、
\(24-2+1=23\) 個より、項数 \(23\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 23\cdot \left(11+99\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 23\cdot 110
\\[5pt]~~~&=&23\cdot 55
\\[3pt]~~~&=&1265
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(4\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,12\,,\,16\,,\,20\,,\,\cdots\,,\,100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,4\cdot 3\,,\,4\cdot 4\,,\,4\cdot 5\,,\,\cdots\,,\,4\cdot 25\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(12\)、末項 \(100\) で、
\(4n\) の \(n\) が \(3\) 〜 \(25\) まであるので、
\(25-3+1=23\) 個より、項数 \(23\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 23\cdot \left(12+100\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 23\cdot 112
\\[5pt]~~~&=&23\cdot 56
\\[3pt]~~~&=&1288
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(10\) から \(100\) までの自然数の和は、
初項 \(10\)、末項 \(100\)、項数 \(100-10+1=91\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 91\cdot \left(10+100\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 91\cdot 110
\\[5pt]~~~&=&91\cdot 55
\\[3pt]~~~&=&5005
\end{eqnarray}\)
\(4\) で割り切れない数の和は、
全体から \(4\) の倍数を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&5005-1288
\\[3pt]~~~&=&3717
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(2\) 桁の自然数のうち、次の条件を満たす数の和を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(7\) で割り切れる
\({\small (2)}~\)\(7\) で割ると \(3\) 余る
\({\small (1)}~\)\(7\) で割り切れる
\({\small (2)}~\)\(7\) で割ると \(3\) 余る
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.13 問14
\({\small (1)}~\)\(2\) 桁の自然数 \(10\) 〜 \(99\) のうち、\(7\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,14\,,\,21\,,\,28\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,7\cdot 2\,,\,7\cdot 3\,,\,7\cdot 4\,,\,\cdots\,,\,7\cdot 14\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(14\)、末項 \(98\) で、
\(7n\) の \(n\) が \(2\) 〜 \(14\) まであるので、
\(14-2+1=13\) 個より、項数 \(13\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot \left(14+98\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot 112
\\[5pt]~~~&=&13\cdot 56
\\[3pt]~~~&=&728
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(7\) で割って \(3\) 余る数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,10\,,\,17\,,\,24\,,\,\cdots\,,\,94\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,7\cdot 1+3\,,\,7\cdot 2+3\,,\,7\cdot 3+3\,,\,\cdots\,,\,7\cdot 13+3\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,7\cdot 1+3\,,\,7\cdot 2+3\,,\,7\cdot 3+3\,,\,\cdots\,,\,7\cdot 13+3\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(10\)、末項 \(94\) で、
\(7n+3\) の \(n\) が \(1\) 〜 \(13\) まであるので、
\(13-1+1=13\) 個より、項数 \(13\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot \left(10+94\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot 104
\\[5pt]~~~&=&13\cdot 52
\\[3pt]~~~&=&676
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(2\) 桁の自然数のうち、\(7\) の倍数であるものの和を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.11 問
\(2\) 桁の自然数 \(10\) 〜 \(99\) のうち、\(7\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,14\,,\,21\,,\,28\,,\,\cdots\,,\,98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,7\cdot2\,,\,7\cdot3\,,\,7\cdot4\,,\,\cdots\,,\,7\cdot14\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(14\)、末項 \(98\) で、
\(7n\) の \(n\) が \(2\) 〜 \(14\) まであるので、
\(14-2+1=13\) 個より、項数 \(13\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot \left(14+98\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 13\cdot 112
\\[5pt]~~~&=&13\cdot 56
\\[3pt]~~~&=&728
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(3\) 桁の自然数のうち、\(9\) の倍数であるものの和を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.26 Training 5
\(3\) 桁の自然数 \(100\) 〜 \(999\) のうち、\(9\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,108\,,\,117\,,\,126\,,\,\cdots\,,\,999\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,9\cdot 12\,,\,9\cdot 13\,,\,9\cdot 14\,,\,\cdots\,,\,9\cdot 111\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(108\)、末項 \(999\) で、
\(9n\) の \(n\) が \(12\) 〜 \(111\) まであるので、
\(111-12+1=100\) 個より、項数 \(100\) となる
等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 100\cdot \left(108+999\right)
\\[5pt]~~~&=&50\cdot 1107
\\[3pt]~~~&=&55350
\end{eqnarray}\)
