このページは、「等差数列の和の最大値・最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
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等差数列の和の最大値・最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ｂ[710] p.16 練習14
初項 \( a=-79 \)、公差 \( d=2 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-79+(n-1)\cdot 2\\[3pt]~~~&=&-79+2n-2\\[3pt]~~~&=&2n-81\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\gt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=2n-81&\gt &0
\\[3pt]~2n&\gt &81
\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,81\,}{\,2\,}=40.5\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=41 \) 以上で正の項となる
よって、初めて正となるのは第 \(41\) 項である
次に、\( a_1\sim a_{40} \) までは負の項で、部分和 \(S_n\) は減少するが、
\(a_n\gt 0\) となる \(n=41\) 以降は増加する
よって、\( a_1\sim a_{40} \) の和が最小値であるので、
初項 \( a=-79 \)、公差 \( d=2 \)、項数 \( n=40 \) の等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~S_{40}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 40 \cdot \left\{\,2\cdot (-79) + (40-1)\cdot 2\,\right\}\\[5pt]~&=&20\cdot\left\{\,-158+39\cdot 2\,\right\}\\[3pt]~&=&20\cdot(-158+78)\\[3pt]~~~&=&20\cdot (-80)\\[3pt]~~~&=&-1600\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) 第何項が初めて負の数になるか。
\({\small (2)}~\) 初項から第何項までの和が最大であるか。また，その和を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.15 練習14
\({\small (1)}~\)初項 \( a=100 \)、公差 \( d=-7 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&100+(n-1)\cdot(-7)\\[3pt]~~~&=&100-7n+7\\[3pt]~~~&=&107-7n\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\lt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~a_n=107-7n&\lt &0\\[3pt]~-7n&\lt &-107\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,107\,}{\,7\,}=15.28\cdots\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=16 \) 以上で負の項となる
よって、初めて負となるのは第 \(16\) 項である
\({\small (2)}~\)\( a_1\sim a_{15} \) までは正の項で、部分和 \(S_n\) は増加するが、
\(a_n\lt 0\) となる \(n=16\) 以降は減少する
よって、\( a_1\sim a_{15} \) の和が最大値であるので、
初項 \( a=100 \)、公差 \( d=-7 \)、項数 \( n=15 \) の等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{15}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 15 \cdot \left\{\,2\cdot 100 + (15-1)\cdot(-7)\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\cdot\left\{\,200+14\cdot(-7)\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\cdot(200-98)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\cdot 102\\[5pt]~~~&=&765\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\) \(50\) は第何項か。
\({\small (2)}~\) 初項から第何項までの和が最大であるか。また，その和を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.23 問題 4
\({\small (1)}~\)初項 \( a=200 \)、公差 \( d=-6 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&200+(n-1)\cdot(-6)\\[3pt]~~~&=&200-6n+6\\[3pt]~~~&=&206-6n\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n=50 \) となる \( n \) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=206-6n&=&50\\[3pt]~-6n&=&50-206\\[3pt]~-6n&=&-156\\[3pt]~n&=&26\end{eqnarray}\)
よって、\(50\) は第 \(26\) 項である
\({\small (2)}~\)ここで、\( a_n\lt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=206-6n&\lt &0\\[3pt]~-6n&\lt &-206\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,206\,}{\,6\,}=34.33\cdots\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=35 \) 以上で負の項となる
\( a_1\sim a_{34} \) までは正の項で、部分和 \(S_n\) は増加するが、
\(a_n\lt 0\) となる \(n=35\) 以降は減少する
よって、\( a_1\sim a_{34} \) の和が最大値であるので、
初項 \( a=200 \)、公差 \( d=-6 \)、項数 \( n=34 \) の等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{34}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 34 \cdot \left\{\,2\cdot 200 + (34-1)\cdot(-6)\,\right\}\\[5pt]~&=&17\cdot\left\{\,400+33\cdot(-6)\,\right\}\\[3pt]~&=&17\cdot(400-198)\\[3pt]~~~&=&17\cdot 202\\[3pt]~~~&=&3434\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
\({\small (1)}~\) 第何項が初めて負の数になるか。
\({\small (2)}~\) 初項から第何項までの和が最大であるか。また，その和を求めよ。
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.22 補充問題 2
\({\small (1)}~\)初項 \( a=50 \)、公差 \( d=-3 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&50+(n-1)\cdot(-3)\\[3pt]~~~&=&50-3n+3\\[3pt]~~~&=&53-3n\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\lt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=53-3n&\lt &0\\[3pt]~-3n&\lt &-53\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,53\,}{\,3\,}=17.66\cdots\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=18 \) 以上で負の項となる
よって、初めて負となるのは第 \(18\) 項である
\({\small (2)}~\)\( a_1\sim a_{17} \) までは正の項で、部分和 \(S_n\) は増加するが、
\(a_n\lt 0\) となる \(n=18\) 以降は減少する
よって、\( a_1\sim a_{17} \) の和が最大値であるので、
初項 \( a=50 \)、公差 \( d=-3 \)、項数 \( n=17 \) の等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{17}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 17 \cdot \left\{\,2\cdot 50 + (17-1)\cdot(-3)\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot\left\{\,100+16\cdot(-3)\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot(100-48)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot 52\\[5pt]~~~&=&442\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
\({\small (1)}~\) この数列の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) この数列で，第何項が初めて負になるか。
\({\small (3)}~\) この数列の初項から第何項までの和が最も大きくなるか。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題 2
初項を \( a \)、公差を \( d \) とすると、第 \(5\) 項が \(108\)、第 \(20\) 項が \(-237\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_5&=&a+4d=108~\cdots~{\small [\,1\,]}\\[3pt]~~a_{20}&=&a+19d=-237~\cdots~{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~15d&=&-237-108\\[3pt]~~~15d&=&-345\\[3pt]~~~d&=&-23\end{eqnarray}\)
\(d=-23\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot(-23)&=&108\\[3pt]~~~a-92&=&108\\[3pt]~~~a&=&200\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( a=200 \)、公差 \( d=-23 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&200+(n-1)\cdot(-23)\\[3pt]~~~&=&200-23n+23\\[3pt]~~~&=&223-23n\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)ここで、\( a_n\lt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=223-23n&\lt &0\\[3pt]~-23n&\lt &-223\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,223\,}{\,23\,}=9.69\cdots\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=10 \) 以上で負の項となる
よって、初めて負となるのは第 \(10\) 項である
\({\small (3)}~\)\( a_1\sim a_9 \) までは正の項で、部分和 \(S_n\) は増加するが、
\(a_n\lt 0\) となる \(n=10\) 以降は減少する
よって、\( a_1\sim a_9 \) の和が最大値であるので、
初項から第 \(9\) 項までの和が最も大きくなる
問題アーカイブ06
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.15 問9
初項 \( a=50 \)、公差 \( d=-4 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&50+(n-1)\cdot(-4)\\[3pt]~~~&=&50-4n+4\\[3pt]~~~&=&54-4n\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\lt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=54-4n&\lt &0\\[3pt]~-4n&\lt &-54\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,54\,}{\,4\,}=13.5\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=14 \) 以上で負の項となる
よって、初めて負となるのは第 \(14\) 項である
問題アーカイブ07
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.26 Training 3
初項 \( a=-55 \)、公差 \( d=4 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-55+(n-1)\cdot 4\\[3pt]~~~&=&-55+4n-4\\[3pt]~~~&=&4n-59\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\gt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=4n-59&\gt &0\\[3pt]~4n&\gt &59\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,59\,}{\,4\,}=14.75\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=15 \) 以上で正の項となる
よって、初めて正となるのは第 \(15\) 項である
問題アーカイブ08
\({\small (1)}~\) 初めて正の項が現れるのは第何項か。
\({\small (2)}~\) 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) の最小値とそのときの \(n\) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.11 Level Up 3
\({\small (1)}~\)初項 \( a=-100 \)、公差 \( d=6 \) の等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-100+(n-1)\cdot 6\\[3pt]~~~&=&-100+6n-6\\[3pt]~~~&=&6n-106\end{eqnarray}\)
ここで、\( a_n\gt 0 \) となる \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n=6n-106&\gt &0\\[3pt]~6n&\gt &106\\[3pt]~n&\gt &\displaystyle \frac{\,106\,}{\,6\,}=17.66\cdots\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=18 \) 以上で正の項となる
よって、初めて正となるのは第 \(18\) 項である
\({\small (2)}~\)\( a_1\sim a_{17} \) までは負の項で、部分和 \(S_n\) は減少するが、
\(a_n\gt 0\) となる \(n=18\) 以降は増加する
よって、\( a_1\sim a_{17} \) の和が最小値であるので、
初項 \( a=-100 \)、公差 \( d=6 \)、項数 \( n=17 \) の等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{17}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 17 \cdot \left\{\,2\cdot (-100) + (17-1)\cdot 6\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot\left\{\,-200+16\cdot 6\,\right\}\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot(-200+96)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,17\,}{\,2\,}\cdot (-104)\\[5pt]~~~&=&-884\end{eqnarray}\)
