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問題｜等差数列の部分和
数列 14☆初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列の第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等差数列の部分和
Point：等差数列の部分和
① 初項から第 \(30\) 項までの和と初項から第 \(19\) 項までの和をそれぞれ求める。
初項から第 \(30\) 項までの和 \(S_{30}=960\)
初項から第 \(19\) 項までの和 \(S_{19}=399\)
② \(S_{30}\) と \(S_{19}\) の差が第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和 \(S\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&S_{30}-S_{19}
\\[3pt]~~~&=&960-399=561
\end{eqnarray}\)
等差数列の第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和(部分和)の求め方は、
① 初項から第 \(30\) 項までの和と初項から第 \(19\) 項までの和をそれぞれ求める。
初項から第 \(30\) 項までの和 \(S_{30}=960\)
初項から第 \(19\) 項までの和 \(S_{19}=399\)
② \(S_{30}\) と \(S_{19}\) の差が第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和 \(S\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&S_{30}-S_{19}
\\[3pt]~~~&=&960-399=561
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜等差数列の部分和
数列 14☆
初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列の第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和の求め方は？
高校数学B｜数列
第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和 \(S\) は、
初項から第 \(30\) 項までの和 \(S_{30}\) から初項から第 \(19\) 項までの和 \(S_{19}\) を引いた値となるので、
\(S_{30}\) は、初項 \(3\)、公差 \(2\)、項数 \(30\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{30}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 30\,\left\{\,2\cdot 3+(30-1)\cdot 2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&15\cdot\left(6+29\cdot 2\right)
\\[3pt]~~~&=&15\cdot\left(6+58\right)
\\[3pt]~~~&=&15\cdot 64
\\[3pt]~~~&=&960
\end{eqnarray}\)
また、\(S_{19}\) は初項 \(3\)、公差 \(2\)、項数 \(19\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{19}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\,\left\{\,2\cdot 3+(19-1)\cdot 2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\,\left(6+18\cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\,\left(6+36\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\cdot 42
\\[5pt]~~~&=&19\cdot 21
\\[3pt]~~~&=&399
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=S_{30}-S_{19}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&960-399
\\[3pt]~~~&=&561
\end{eqnarray}\)
