このページは、「等差数列の項と和から一般項を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
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等差数列の項と和から一般項を求める で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01第 \( 3 \) 項が \( 17 \)、初項から第 \( 6 \) 項までの和が \( 120 \) である等差数列 \( \{a_n\} \) の一般項を求めよ。また、\( 100\lt a_n\lt 200 \) を満たす項の和を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.46 問題 2
初項を \( a \)、公差を \( d \) とすると、
\( a_3=17 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(3-1)\,d&=&17
\\[3pt]~~~a+2d&=&17~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( S_{6}=120 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6 \left\{ 2a+(6-1)\,d \right\}&=&120
\\[5pt]~~~3(2a+5d)&=&120
\\[5pt]~~~2a+5d&=&40~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}{\, \small \times \,}2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
2a+5d&=&40 \\[3pt]
-\big{)}~~2a+4d&=&34\\[3pt]
\hline d&=&6\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2\cdot 6&=&17
\\[3pt]~~~a+12&=&17
\\[3pt]~~~a&=&5
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(5\)、公差 \(6\) より、等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&5+(n-1)\cdot6
\\[3pt]~&=&5+6n-6
\\[3pt]~~~&=&6n-1
\end{eqnarray}\)
また、\( 100\lt a_n\lt 200 \) を満たす \( n \) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~100&\lt &6n-1\lt 200
\\[3pt]~~~101&\lt &6n\lt 201
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,101\,}{\,6\,}&\lt &n\lt \displaystyle \frac{\,201\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~16.8\cdots&\lt &n\lt 33.5
\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=17~,~18~,~\cdots~,~33 \)
よって、項数は \( 33-17+1=17 \)
\( a_{17} \) と \( a_{33} \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{17}&=&6\cdot 17-1~=~101
\\[3pt]~~~a_{33}&=&6\cdot 33-1~=~197
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(101\)、末項 \(197\)、項数 \(17\) の等差数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 17(101+197)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 17\cdot 298
\\[5pt]~~~&=&2533
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02等差数列 \( \{a_n\} \) の初項から第 \( n \) 項までの和を \( S_n \) とする。\( a_3=4 \)、\( S_4=20 \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 数列 \( \{a_n\} \) の初項と公差を求めよ。
\({\small (2)}~\) \( S_n \) を求めよ。
\({\small (1)}~\) 数列 \( \{a_n\} \) の初項と公差を求めよ。
\({\small (2)}~\) \( S_n \) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.23 問題 2
\({\small (1)}~\)初項を \( a \)、公差を \( d \) とすると、
\( a_3=4 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(3-1)\,d&=&4
\\[3pt]~~~a+2d&=&4~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( S_{4}=20 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 4 \left\{ 2a+(4-1)\,d \right\}&=&20
\\[5pt]~~~2(2a+3d)&=&20
\\[5pt]~~~2a+3d&=&10~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}{\, \small \times \,}2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
2a+3d&=&10 \\[3pt]
-\big{)}~~2a+4d&=&8\\[3pt]
\hline -d&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\( d=-2 \)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2\cdot (-2)&=&4
\\[3pt]~~~a-4&=&4
\\[3pt]~~~a&=&8
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(8\)、公差 \(-2\)
\({\small (2)}~\)初項 \(8\)、公差 \(-2\) より、等差数列の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot n\left\{2\cdot 8+(n-1)\cdot(-2)\right\}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot n(16-2n+2)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot n(18-2n)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 2n(9-n)
\\[5pt]~~~&=&n(9-n)
\end{eqnarray}\)
