このページは、「2つの等差数列の共通項の数列」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つの等差数列の共通項の数列 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012つの数列 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) の一般項がそれぞれ \(a_n=9n-8\), \(b_n=6n+1\) であるとき、この2つの数列に共通に含まれる項を小さい方から順に並べてできる数列 \(\{c_n\}\) の一般項を求めよ。また、この数列の初項から第 \(10\) 項までの和を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.44 練習問題A 3
数列 \(\{a_n\}\) について、
\( a_n=9n-8=1+(n-1)\cdot9 \) より、
初項は \(1\)、公差は \(9\) である
数列 \(\{b_n\}\) について、
\( b_n=6n+1=7+(n-1)\cdot6 \) より、
初項は \(7\)、公差は \(6\) である
よって、\(9\) と \(6\) の最小公倍数が \(18\) となるので、
数列 \( \{c_n\} \) の公差は \(18\) となる
次に、それぞれの数列を書き並べると、
\(\begin{eqnarray}~&&a_n:1\,,\,10\,,\,\underline{19}\,,\,28\,,\,\underline{37}\,,\,46\,,\,\underline{55}\,,\cdots
\\[5pt]~&&b_n:7\,,\,13\,,\,\underline{19}\,,\,25\,,\,31\,,\,\underline{37}\,,\,43\,,\,49\,,\,\underline{55}\,,\cdots
\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{c_n\}\) の初項は \(19\) となる
したがって、数列 \( \{c_n\} \) は初項 \(19\)、公差 \(18\) の等差数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~c_n&=&19+(n-1)\cdot18
\\[3pt]~~~&=&19+18n-18
\\[3pt]~~~&=&18n+1
\end{eqnarray}\)
また、初項から第 \(10\) 項までの和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\sum_{k=1}^{10}c_k&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot10\cdot(19+c_{10})
\\[5pt]~~~&=&5\cdot(19+181)
\\[5pt]~~~&=&5\cdot200
\\[5pt]~~~&=&1000
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の2つの等差数列に共通に含まれる数を小さい方から順に並べてできる数列を \(\{a_n\}\) とする。
\(\begin{eqnarray}~&&1\,,\,3\,,\,5\,,\,7\,,\,9\,,\,\cdots\,,\,999
\\[5pt]~&&3\,,\,6\,,\,9\,,\,12\,,\,15\,,\,\cdots\,,\,999
\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) は等差数列になる。その初項と公差を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の項の総和を求めよ。
\(\begin{eqnarray}~&&1\,,\,3\,,\,5\,,\,7\,,\,9\,,\,\cdots\,,\,999
\\[5pt]~&&3\,,\,6\,,\,9\,,\,12\,,\,15\,,\,\cdots\,,\,999
\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) は等差数列になる。その初項と公差を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の項の総和を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.54 Level Up 2
\({\small (1)}~\) 1つ目の等差数列について、
初項は \(1\)、公差は \(2\) である
2つ目の等差数列について、
初項は \(3\)、公差は \(3\) である
よって、\(2\) と \(3\) の最小公倍数が \(6\) となるので、
数列 \( \{a_n\} \) の公差は \(6\) となる
次に、それぞれの数列を書き並べると、
\(\begin{eqnarray}~&&1\,,\,\underline{3}\,,\,5\,,\,7\,,\,\underline{9}\,,\,11\,,\,13\,,\,\underline{15}\,,\cdots
\\[5pt]~&&\underline{3}\,,\,6\,,\,\underline{9}\,,\,12\,,\,\underline{15}\,,\,18\,,\cdots
\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の初項は \(3\) となる
したがって、初項 \(3\)、公差 \(6\) となる
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) より、数列 \( \{a_n\} \) は初項 \(3\)、公差 \(6\) の等差数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot6
\\[3pt]~~~&=&3+6n-6
\\[3pt]~~~&=&6n-3
\end{eqnarray}\)
末項が \(999\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~6n-3&=&999
\\[3pt]~~~6n&=&1002
\\[3pt]~~~n&=&167
\end{eqnarray}\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) の項数は \(167\) となる
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の項の総和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\sum_{k=1}^{167}a_k&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot167\cdot(3+999)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot167\cdot1002
\\[5pt]~~~&=&167\cdot501
\\[5pt]~~~&=&83667
\end{eqnarray}\)
