- 数学B｜数列「等比数列の項から一般項を求める」の基本例題解説ページです。
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問題｜等比数列の項から一般項を求める
数列 19第 \(4\) 項が \(24\)、第 \(6\) 項が \(96\) である等比数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等比数列の項から一般項を求める
Point：等比数列の項から一般項を求める
① 初項を \( a \)、公比を \( r \) として、一般項を求めておく。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a\,r^{n-1}\end{eqnarray}\)
② 各項の条件より、条件式を立てる。
\(a_4=24\) のとき、\(a\,r^{3}=24\)
\(a_6=96\) のとき、\(a\,r^{5}=96\)
③ 条件式を解き、初項 \( a \) と公比 \( r \) を求め、一般項 \( a_n \) に代入して求める。
\(a\,r^{3}\,r^{2}=96\) に \(a\,r^{3}=24\) を代入する。
等比数列の項から一般項の求め方は、
① 初項を \( a \)、公比を \( r \) として、一般項を求めておく。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a\,r^{n-1}\end{eqnarray}\)
② 各項の条件より、条件式を立てる。
\(a_4=24\) のとき、\(a\,r^{3}=24\)
\(a_6=96\) のとき、\(a\,r^{5}=96\)
③ 条件式を解き、初項 \( a \) と公比 \( r \) を求め、一般項 \( a_n \) に代入して求める。
\(a\,r^{3}\,r^{2}=96\) に \(a\,r^{3}=24\) を代入する。
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詳しい解説｜等比数列の項から一般項を求める
数列 19
第 \(4\) 項が \(24\)、第 \(6\) 項が \(96\) である等比数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=4 \) のとき、\( a_4 = 24 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4-1}&=&24
\\[3pt]~~~a\,r^{3}&=&24~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=6 \) のとき、\( a_6 = 96 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{6-1}&=&96
\\[3pt]~~~a\,r^{5}&=&96~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5}&=&96
\\[3pt]~~~a\,r^{3}\,r^{2}&=&96
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~24\,r^{2}&=&96
\\[3pt]~~~r^{2}&=&4
\\[3pt]~~~r&=&\pm 2
\end{eqnarray}\)
\( r=2 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot2^{3}&=&24
\\[3pt]~~~8a&=&24
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 3 \)、公比 \( 2 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3\cdot 2^{n-1}\end{eqnarray}\)
\( r=-2 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot(-2)^{3}&=&24
\\[3pt]~~~-8a&=&24
\\[3pt]~~~a&=&-3
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( -3 \)、公比 \( -2 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-3\,(-2)^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=3\cdot 2^{n-1}\) または \(a_n=-3\,(-2)^{n-1}\)
