このページは、「等比数列の項から一般項を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
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等比数列の項から一般項を求める で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ｂ[710] p.18 練習16
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_3 = 6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{3-1}&=&6
\\[3pt]~~~a\,r^{2}&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=7 \) のとき、\( a_7 = 486 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{7-1}&=&486
\\[3pt]~~~a\,r^{6}&=&486~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{6}&=&486
\\[3pt]~~~a\,r^{2}\,r^{4}&=&486
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6\,r^{4}&=&486
\\[3pt]~~~r^{4}&=&81
\\[3pt]~~~r&=&\pm 3
\end{eqnarray}\)
\( r=3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot3^{2}&=&6
\\[3pt]~~~9a&=&6
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} \)、公比 \( 3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot 3^{n-1}
\end{eqnarray}\)
\( r=-3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot(-3)^{2}&=&6
\\[3pt]~~~9a&=&6
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} \)、公比 \( -3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot (-3)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
したがって、
初項 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)、公比 \(3\)、一般項 \(a_n=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot 3^{n-1}\)
または、
初項 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)、公比 \(-3\)、一般項 \(a_n=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot (-3)^{n-1}\)
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) 第 \( 2 \) 項が \( 6 \)、第 \( 4 \) 項が \( 54 \)
\({\small (2)}~\) 第 \( 5 \) 項が \( -9 \)、第 \( 7 \) 項が \( -27 \)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.18 練習19
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.18 練習20
\({\small (1)}~\)初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=2 \) のとき、\( a_2 = 6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{2-1}&=&6
\\[3pt]~~~a\,r&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=4 \) のとき、\( a_4 = 54 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4-1}&=&54
\\[3pt]~~~a\,r^{3}&=&54~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{3}&=&54
\\[3pt]~~~a\,r\,\cdot\,r^{2}&=&54
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6\,r^{2}&=&54
\\[3pt]~~~r^{2}&=&9
\\[3pt]~~~r&=&\pm 3
\end{eqnarray}\)
\( r=3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot3&=&6
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 2 \)、公比 \( 3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2\cdot 3^{n-1}\end{eqnarray}\)
\( r=-3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot(-3)&=&6
\\[3pt]~~~a&=&-2
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( -2 \)、公比 \( -3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-2\,(-3)^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=2\cdot 3^{n-1}\) または \(a_n=-2\,(-3)^{n-1}\)
\({\small (2)}~\)初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=5 \) のとき、\( a_5 = -9 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5-1}&=&-9
\\[3pt]~~~a\,r^{4}&=&-9~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=7 \) のとき、\( a_7 = -27 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{7-1}&=&-27
\\[3pt]~~~a\,r^{6}&=&-27~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{6}&=&-27
\\[3pt]~~~a\,r^{4}\,\cdot\,r^{2}&=&-27
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-9)\,r^{2}&=&-27
\\[3pt]~~~r^{2}&=&3
\\[3pt]~~~r&=&\pm \sqrt{3}
\end{eqnarray}\)
\( r=\sqrt{3} \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot\left(\sqrt{3}\right)^{4}&=&-9
\\[3pt]~~~9a&=&-9
\\[3pt]~~~a&=&-1
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( -1 \)、公比 \( \sqrt{3} \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}\end{eqnarray}\)
\( r=-\sqrt{3} \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot\left(-\sqrt{3}\right)^{4}&=&-9
\\[3pt]~~~9a&=&-9
\\[3pt]~~~a&=&-1
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( -1 \)、公比 \( -\sqrt{3} \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-\left(-\sqrt{3}\right)^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=-\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}\) または \(a_n=-\left(-\sqrt{3}\right)^{n-1}\)
問題アーカイブ03
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.23 問題 5
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.22 補充問題 3
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=2 \) のとき、\( a_2 = 3 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{2-1}&=&3
\\[3pt]~~~a\,r&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=5 \) のとき、\( a_5 = 24 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5-1}&=&24
\\[3pt]~~~a\,r^{4}&=&24~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4}&=&24
\\[3pt]~~~a\,r\,\cdot\,r^{3}&=&24
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3\,r^{3}&=&24
\\[3pt]~~~r^{3}&=&8
\\[3pt]~~~r&=&2
\end{eqnarray}\)
\( r=2 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot2&=&3
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \)、公比 \( 2 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot 2^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 2^{n-2}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=3\cdot 2^{n-2}\)
問題アーカイブ04
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.16 問18
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_3 = 18 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{3-1}&=&18
\\[3pt]~~~a\,r^{2}&=&18~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=5 \) のとき、\( a_5 = 162 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5-1}&=&162
\\[3pt]~~~a\,r^{4}&=&162~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4}&=&162
\\[3pt]~~~a\,r^{2}\,\cdot\,r^{2}&=&162
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~18\,r^{2}&=&162
\\[3pt]~~~r^{2}&=&9
\\[3pt]~~~r&=&\pm 3
\end{eqnarray}\)
\( r=3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot3^{2}&=&18
\\[3pt]~~~9a&=&18
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 2 \)、公比 \( 3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2\cdot 3^{n-1}\end{eqnarray}\)
\( r=-3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot(-3)^{2}&=&18
\\[3pt]~~~9a&=&18
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 2 \)、公比 \( -3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2\,(-3)^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=2\cdot 3^{n-1}\) または \(a_n=2\,(-3)^{n-1}\)
問題アーカイブ05
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.22 問19
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=3 \) のとき、\( a_3 = 36 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{3-1}&=&36
\\[3pt]~~~a\,r^{2}&=&36~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=5 \) のとき、\( a_5 = 324 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5-1}&=&324
\\[3pt]~~~a\,r^{4}&=&324~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4}&=&324
\\[3pt]~~~a\,r^{2}\,\cdot\,r^{2}&=&324
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~36\,r^{2}&=&324
\\[3pt]~~~r^{2}&=&9
\\[3pt]~~~r&=&\pm 3
\end{eqnarray}\)
\( r=3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot3^{2}&=&36
\\[3pt]~~~9a&=&36
\\[3pt]~~~a&=&4
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 4 \)、公比 \( 3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&4\cdot 3^{n-1}\end{eqnarray}\)
\( r=-3 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot(-3)^{2}&=&36
\\[3pt]~~~9a&=&36
\\[3pt]~~~a&=&4
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 4 \)、公比 \( -3 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&4\,(-3)^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=4\cdot 3^{n-1}\) または \(a_n=4\,(-3)^{n-1}\)
問題アーカイブ06
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.26 Training 7
初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる
\( n=2 \) のとき、\( a_2 = 6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{2-1}&=&6
\\[3pt]~~~a\,r&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=5 \) のとき、\( a_5 = 48 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5-1}&=&48
\\[3pt]~~~a\,r^{4}&=&48~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4}&=&48
\\[3pt]~~~a\,r\,\cdot\,r^{3}&=&48
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6\,r^{3}&=&48
\\[3pt]~~~r^{3}&=&8
\\[3pt]~~~r&=&2
\end{eqnarray}\)
\( r=2 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot2&=&6
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)
よって、初項 \( 3 \)、公比 \( 2 \) より、一般項 \(a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3\cdot 2^{n-1}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_n=3\cdot 2^{n-1}\)
