等比数列の項と和から初項と公比を求める

初項を \( a \)、公比を \( r \) とすると、一般項は \( a_n = a\,r^{n-1} \)

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\(a_3=12\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^{2}&=&12~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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初項から第 \(3\) 項までの和が \(21\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1+a_2+a_3&=&21
\\[3pt]~~~a+a r+a r^2&=&21
\\[3pt]~~~~~~a\left(1+r+r^2\right)&=&21
\end{eqnarray}\)

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両辺に \(r^2\) を掛けると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^2\left(1+r+r^2\right)&=&21r^2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~12\left(1+r+r^2\right)&=&21 r^2
\\[3pt]~~~4\left(1+r+r^2\right)&=&7 r^2
\\[3pt]~~~4+4r+4r^2-7r^2&=&0
\\[3pt]~~~-3r^2+4r+4&=&0
\\[3pt]~~~3r^2-4r-4&=&0
\end{eqnarray}\)

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たすき掛けの因数分解より、

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\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&2&2\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~1&&-2&-6\\[2pt]
\hline
&&&-4
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~3r^2-4r-4&=&0
\\[3pt]~~~(3r+2)(r-2)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&2~,~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

 

\(r=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot 2^2&=&12
\\[3pt]~~~4a&=&12
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)

 

\(r=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot\left(\displaystyle -\frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2&=&12
\\[5pt]~~~a\cdot\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\right)&=&12
\\[5pt]~~~a&=&12{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~a&=&27
\end{eqnarray}\)

 

したがって、

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　\(a=3~,~r=2\) または \(a=27~,~r=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)