このページは、「等比数列の項と和から初項と公比を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
等比数列の項と和から初項と公比を求める で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ｂ[710] p.20 練習20
初項を \( a \)、公比を \( r \) とすると、一般項は \( a_n = a\,r^{n-1} \)
\(a_3=4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^{2}&=&4~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
初項から第 \(3\) 項までの和が \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1+a_2+a_3&=&7
\\[3pt]~~~a+a r+a r^2&=&7
\\[3pt]~~~~~~a\left(1+r+r^2\right)&=&7
\end{eqnarray}\)
両辺に \(r^2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^2\left(1+r+r^2\right)&=&7r^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left(1+r+r^2\right)&=&7 r^2
\\[3pt]~~~4+4r+4r^2-7r^2&=&0
\\[3pt]~~~-3r^2+4r+4&=&0
\\[3pt]~~~3r^2-4r-4&=&0
\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&2&2\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~1&&-2&-6\\[2pt]
\hline
&&&-4
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3r^2-4r-4&=&0
\\[3pt]~~~(3r+2)(r-2)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&2~,~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot 2^2&=&4
\\[3pt]~~~4a&=&4
\\[3pt]~~~a&=&1
\end{eqnarray}\)
\(r=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot\left(\displaystyle -\frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2&=&4
\\[5pt]~~~a\cdot\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\right)&=&4
\\[5pt]~~~a&=&4{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~a&=&9
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=1~,~r=2\) または \(a=9~,~r=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
問題アーカイブ02
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.20 練習22
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.20 練習23
初項を \( a \)、公比を \( r \) とすると、一般項は \( a_n = a\,r^{n-1} \)
初項から第 \(3\) 項までの和が \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1+a_2+a_3&=&7
\\[3pt]~~~a+a r+a r^2&=&7
\\[3pt]~~~~~~a\left(1+r+r^2\right)&=&7~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
第 \(3\) 項から第 \(5\) 項までの和が \(28\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_3+a_4+a_5&=&28
\\[3pt]~~~a r^2+a r^3+a r^4&=&28
\\[3pt]~~~~~~a\,r^2\left(1+r+r^2\right)&=&28~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\div{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,r^2\left(1+r+r^2\right)\,}{\,a\left(1+r+r^2\right)\,}&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~r^2&=&4
\\[3pt]~~~r&=&\pm\,2
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\left(1+2+4\right)&=&7
\\[3pt]~~~7a&=&7
\\[3pt]~~~a&=&1
\end{eqnarray}\)
\(r=-2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\left(1-2+4\right)&=&7
\\[3pt]~~~3a&=&7
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=1~,~r=2\) または \(a=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}~,~r=-2\)
問題アーカイブ03
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.23 問題 6
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.22 補充問題 4
初項を \( a \)、公比を \( r \) とすると、一般項は \( a_n = a\,r^{n-1} \)
\(a_2=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
初項から第 \(3\) 項までの和が \(13\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1+a_2+a_3&=&13
\\[3pt]~~~a+a r+a r^2&=&13
\\[3pt]~~~~~~a\left(1+r+r^2\right)&=&13
\end{eqnarray}\)
両辺に \(r\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,r\left(1+r+r^2\right)&=&13r\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3\left(1+r+r^2\right)&=&13 r
\\[3pt]~~~3+3r+3r^2&=&13r
\\[3pt]~~~3r^2+3r-13r+3&=&0
\\[3pt]~~~3r^2-10r+3&=&0
\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&-1&-1\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~1&&-3&-9\\[2pt]
\hline
&&&-10
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3r^2-10r+3&=&0
\\[3pt]~~~(3r-1)(r-3)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\(r=3\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot 3&=&3
\\[3pt]~~~a&=&1
\end{eqnarray}\)
\(r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&3
\\[5pt]~~~a&=&3{\, \small \times \,}3
\\[3pt]~~~a&=&9
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=1~,~r=3\) または \(a=9~,~r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
