このページは、「等比数列の和から初項と公比を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01初項から第 \(3\) 項までの和が \(35\)，初項から第 \(6\) 項までの和が \(315\) である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし，公比は実数とする。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.18 問23
初項を \(a\)、公比を \(r\)、初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると、
\(S_3=35\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}&=&35~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(S_6=315\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^6-1)\,}{\,r-1\,}&=&315~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^6-1=(r^3+1)(r^3-1)\) より、\({\small [\,2\,]}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)(r^3+1)\,}{\,r-1\,}=315\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~35(r^3+1)&=&315
\\[3pt]~~~r^3+1&=&9
\\[3pt]~~~r^3&=&8
\\[3pt]~~~r&=&2
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(2^3-1)\,}{\,2-1\,}&=&35
\\[5pt]~~~a(8-1)&=&35
\\[3pt]~~~7a&=&35
\\[3pt]~~~a&=&5
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(5\)、公比 \(2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02初項から第 \(3\) 項までの和が \(7\)，初項から第 \(6\) 項までの和が \(-182\) である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし，公比は実数とする。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.26 Training 9
初項を \(a\)、公比を \(r\)、初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると、
\(S_3=7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}&=&7~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(S_6=-182\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^6-1)\,}{\,r-1\,}&=&-182~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^6-1=(r^3+1)(r^3-1)\) より、\({\small [\,2\,]}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)(r^3+1)\,}{\,r-1\,}=-182\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~7(r^3+1)&=&-182
\\[3pt]~~~r^3+1&=&-26
\\[3pt]~~~r^3&=&-27
\\[3pt]~~~r&=&-3
\end{eqnarray}\)
\(r=-3\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a((-3)^3-1)\,}{\,(-3)-1\,}&=&7
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a(-27-1)\,}{\,-4\,}&=&7
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-28a\,}{\,-4\,}&=&7
\\[5pt]~~~7a&=&7
\\[3pt]~~~a&=&1
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(1\)、公比 \(-3\) となる
