このページは、「等比数列のa₁+a₂とa₃+a₄の値」の練習問題アーカイブページとなります。
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等比数列のa₁+a₂とa₃+a₄の値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01公比が正の数である等比数列 \(\{a_n\}\) について、\(a_1+a_2=3\)，\(a_3+a_4=12\) であるという。この数列の第 \(7\) 項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.33 問題 2
初項を \( a \)、公比を \( r~(\,r\gt 0\,)\) とおくと、一般項は \( a_n=a\,r^{n-1} \)
\(a_1+a_2=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot r&=&3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(a_3+a_4=12\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^2+a\cdot r^3&=&12~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、共通因数 \( r^2 \) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2\left(a+a\cdot r\right)&=&12
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~r^2\cdot 3&=&12
\\[3pt]~~~r^2&=&4
\\[3pt]~~~r&=&2 \hspace{30pt}(\,∵~ r\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot 2&=&3
\\[3pt]~~~3a&=&3
\\[3pt]~~~a&=&1
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(1\)、公比 \(2\) より、
一般項 \( a_n=1\cdot 2^{\,n-1}=2^{\,n-1} \) となる
第 \(7\) 項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_7&=&2^{\,7-1}
\\[3pt]~~~&=&2^6
\\[3pt]~~~&=&64
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02初項が正の数である等比数列 \(\{a_n\}\) の，第 \(2\) 項と第 \(4\) 項の和が \(20\) で，第 \(4\) 項と第 \(6\) 項の和が \(80\) であるとき，次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\) 初項と公比
\({\small (2)}~\) 初項から第 \(10\) 項までの和
\({\small (1)}~\) 初項と公比
\({\small (2)}~\) 初項から第 \(10\) 項までの和
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.49 章末問題A 4
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.46 章末問題A 4
\({\small (1)}~\)初項を \( a~(\,a\gt 0\,)\)、公比を \( r \) とおくと、一般項は \( a_n=a\,r^{n-1} \)
\(a_2+a_4=20\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r+a\cdot r^3&=&20~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(a_4+a_6=80\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^3+a\cdot r^5&=&80~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、共通因数 \( r^2 \) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2\left(a\cdot r+a\cdot r^3\right)&=&80
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~r^2\cdot 20&=&80
\\[3pt]~~~r^2&=&4
\\[3pt]~~~r&=&\pm 2
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot 2+a\cdot 8&=&20
\\[3pt]~~~10a&=&20
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)
\(r=-2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot (-2)+a\cdot (-8)&=&20
\\[3pt]~~~-10a&=&20
\\[3pt]~~~a&=&-2
\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より不適
したがって、初項 \(2\)、公比 \(2\)
\({\small (2)}~\)初項 \(2\)、公比 \(2\) より、初項から第 \(10\) 項までの和は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{10}&=&\displaystyle\frac{\,2\left(\,2^{10}-1\,\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,1024-1\,\right)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 1023
\\[3pt]~~~&=&2046
\end{eqnarray}\)
