- 数学B｜数列「項の和をシグマ記号で表す」の基本例題解説ページです。
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問題｜項の和をシグマ記号で表す
数列 28数列の和 \(3+5+7+\cdots+21\) や \(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\) を記号 \(\displaystyle \sum\) を用いて表す方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
項の和をシグマ記号で表す
Point：項の和をシグマ記号で表す
① 数列の一般項 \( a_n \) を求める。
\(\{\,3~,~5~,~7~,~\cdots~,~21\,\}\) より、
\(a_n=2n+1\)
② 末項から項数を求める。
\(2n+1=21\) より、\(n=10\)
③ シグマ記号を用いて、和を表す。
\( a_k=2k+1 \) に \( k=1\sim10 \) までの自然数を
代入した項の和より、
\(3+5+7+\cdots+21=\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left(2k+1\right)\)
数列の和をシグマ記号で表す方法は、
① 数列の一般項 \( a_n \) を求める。
\(\{\,3~,~5~,~7~,~\cdots~,~21\,\}\) より、
\(a_n=2n+1\)
② 末項から項数を求める。
\(2n+1=21\) より、\(n=10\)
③ シグマ記号を用いて、和を表す。
\( a_k=2k+1 \) に \( k=1\sim10 \) までの自然数を
代入した項の和より、
\(3+5+7+\cdots+21=\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left(2k+1\right)\)
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詳しい解説｜項の和をシグマ記号で表す
数列 28
数列の和 \(3+5+7+\cdots+21\) や \(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\) を記号 \(\displaystyle \sum\) を用いて表す方法は？
高校数学B｜数列
数列 \( \{\,3~,~5~,~7~,~\cdots~,~21\,\} \) より、
初項が \( 3 \)、公差が \( 2 \) の等差数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+1
\end{eqnarray}\)
ここで、\( 21 \) を第 \( n \) 項とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&21
\\[3pt]~~~2n&=&20
\\[3pt]~~~n&=&10
\end{eqnarray}\)
よって、\(3+5+7+\cdots+21\) は、\( a_k=2k+1 \) に \( k=1\sim10 \) までの自然数を代入した項の和より、
\(~~~3+5+7+\cdots+21=\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left(2k+1\right)\)
数列 \( \{\,1~,~2~,~2^2~,~\cdots~,~2^{n-1}\,\} \) より、
初項 \( 1 \)、公比 \( 2 \) より、一般項は \( a_n=2^{\,n-1} \)
また、項数は \( n \) であるので、
\( 1+2+2^2+\cdots+2^{n-1} \) は、\( a_k=2^{\,k-1} \) に \( k=1\sim n \) までの自然数を代入した項の和より、
\(~~~1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{\,k-1}\)
