- 数学B｜数列「シグマ記号の書き換え」の基本例題解説ページです。
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問題｜シグマ記号の書き換え
数列 29数列の和の等式 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\) が成り立つことを証明する方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
シグマ記号の書き換え
Point：シグマ記号の書き換え
① それぞれのシグマ記号を \(k\) の範囲の自然数を代入した項の和で表す。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
\(\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
② 項の和が等しいことを示す。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\)
シグマ記号の書き換えの証明方法は、
① それぞれのシグマ記号を \(k\) の範囲の自然数を代入した項の和で表す。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
\(\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\)
② 項の和が等しいことを示す。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\)
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詳しい解説｜シグマ記号の書き換え
数列 29
数列の和の等式 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\) が成り立つことを証明する方法は？
高校数学B｜数列
[証明] \( \displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2 \) は、
\( (k+2)^2 \) に、\( k=1\sim5 \) までの自然数を代入した項の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\left\{(1+2)^2+(2+2)^2+(3+2)^2+(4+2)^2+(5+2)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&3^2+4^2+5^2+6^2+7^2
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left\{(1+2)^2+(2+2)^2+(3+2)^2+(4+2)^2+(5+2)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&3^2+4^2+5^2+6^2+7^2
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2 \) は、
\( (k+1)^2 \) に、\( k=2\sim6 \) までの自然数を代入した項の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\left\{(2+1)^2+(3+1)^2+(4+1)^2+(5+1)^2+(6+1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&3^2+4^2+5^2+6^2+7^2
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left\{(2+1)^2+(3+1)^2+(4+1)^2+(5+1)^2+(6+1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&3^2+4^2+5^2+6^2+7^2
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2 \) は、
\( k^2 \) に、\( k=3\sim7 \) までの自然数を代入した項の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2&=&3^2+4^2+5^2+6^2+7^2
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\) [終]
