- 数学B｜数列「シグマ記号の公式」の基本例題解説ページです。
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問題｜シグマ記号の公式
高校数学B｜数列
解法のPoint
シグマ記号の公式
■ シグマ記号の公式
\(\small [\,1\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c \)（\( c \) は定数）は、\( c \) が \( n \) 個並ぶので、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c=nc\)
\(\small [\,2\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \) は、自然数の和より、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\)
\(\small [\,3\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 \) は、自然数の2乗の和より、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
\(\small [\,4\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 \) は、自然数の3乗の和より、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^{2}\)
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詳しい解説｜シグマ記号の公式
数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}3\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^2\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^3\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{10}3&=&3+3+3+\cdots+3
\\[5pt]~~~&=&(10\cdot 3)
\\[5pt]~~~&=&30
\end{eqnarray}\)
※ \(3\) を \(10\) 個足し合わせる。
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k \) は、公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1) \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sum_{k=1}^{10}k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\cdot(10+1)
\\[5pt]~~~&=&5\cdot 11
\\[3pt]~~~&=&55
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^2 \) は、公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1) \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sum_{k=1}^{10}k^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 10\cdot(10+1)\cdot(2\cdot 10+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 10\cdot 11\cdot 21
\\[5pt]~~~&=&5\cdot 11\cdot 7
\\[3pt]~~~&=&385
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^3 \) は、公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sum_{k=1}^{10}k^3&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\cdot(10+1)\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&(5\cdot 11)^2
\\[3pt]~~~&=&55^2
\\[3pt]~~~&=&3025
\end{eqnarray}\)
