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問題｜シグマ記号の性質と公式
数列 32数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+5)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
シグマ記号の性質と公式
Point：シグマ記号の性質と公式
\(\small [\,1\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k \)
\(\small [\,2\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c a_k=c\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k \)
ただし、\( c \) は \( k \) に関係のない定数
① 性質 \(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) を用いて、シグマ記号を分ける。
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k+1)=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1 \)
② 分けたシグマ記号をそれぞれ公式で計算する。
\( 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1
=3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+n \)
③ 通分して共通因数にくくり、かっこの中をさらに計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}n(n+1)+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\left\{3(n+1)+2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(3n+5)
\end{eqnarray}\)
■ シグマ記号の性質
\(\small [\,1\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k \)
\(\small [\,2\,]\) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c a_k=c\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k \)
ただし、\( c \) は \( k \) に関係のない定数
■ シグマ記号の計算手順
① 性質 \(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) を用いて、シグマ記号を分ける。
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k+1)=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1 \)
② 分けたシグマ記号をそれぞれ公式で計算する。
\( 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1
=3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+n \)
③ 通分して共通因数にくくり、かっこの中をさらに計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}n(n+1)+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\left\{3(n+1)+2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(3n+5)
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜シグマ記号の性質と公式
数列 32
数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+5)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k\) の求め方は？
高校数学B｜数列
シグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1
\\[5pt]~~~&=&2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)-n
\\[5pt]~~~&=&n(n+1)-n
\\[5pt]~~~&=&n^2+n-n
\\[5pt]~~~&=&n^2
\end{eqnarray}\)
シグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+5)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2-3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+5n
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2-3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+5n
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,6\,}n(n+1)+\displaystyle \frac{\,30\,}{\,6\,}n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2+3n+1-9n-9+30\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2-6n+22\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\cdot 2\left(n^2-3n+11\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left(n^2-3n+11\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2+3n+1-9n-9+30\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2-6n+22\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\cdot 2\left(n^2-3n+11\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left(n^2-3n+11\right)
\end{eqnarray}\)
※（ ）の中がさらに因数分解できないか確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k\end{eqnarray}\)
公式 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{25pt}~~~&=&2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&(n-1)\cdot n
\\[5pt]~~~&=&n(n-1)
\end{eqnarray}\)
