- 数学B｜数列「シグマ記号で表し和を求める」の基本例題解説ページです。
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問題｜シグマ記号で表し和を求める
高校数学B｜数列
解法のPoint
シグマ記号で表し和を求める
項を書き並べた数列の和の求め方は、
① 規則性より、第 \(k\) 項を \(k\) の式で表す。
\(\{~3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots~\}\)
第 \(k\) 項 \((2k+1)\cdot k^2\)
② 第 \(k\) 項に \(k=1\sim n\) までのシグマ記号でとり、公式より和を求める。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k+1)\cdot k^2\)
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詳しい解説｜シグマ記号で表し和を求める
数列 \(\{~3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots~\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和をシグマ記号 \(\displaystyle \sum\) で表し、和を求める方法は？
高校数学B｜数列
\(\{~3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots~\}\)
左側の数は \(3,5,7,9,\cdots\) となり、
初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列で、第 \(k\) 項は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3+(k-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&3+2k-2
\\[3pt]~~~&=&2k+1
\end{eqnarray}\)
また、右側の数は \(1^2,2^2,3^2,4^2\) であり、第 \(k\) 項は \(k^2\)
よって、この数列の第 \(k\) 項は \((2k+1)\cdot k^2\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)\cdot k^2\)
シグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^3+k^2)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2\right\}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,3n(n+1)+(2n+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+3n+2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+5n+1)
\end{eqnarray}\)
