このページは、「シグマ記号で表し和を求める」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
シグマ記号で表し和を求める で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\\\hspace{70pt}\cdots +n(n+1)(n+2)\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.26 練習27
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.28 練習29
\(\{~1\cdot 2\cdot 3~,~2\cdot 3\cdot 4~,~3\cdot 4\cdot 5~,~\cdots~\}\)
この数列の第 \(k\) 項は \(k(k+1)(k+2)\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k^2+3k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^3+3k^2+2k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+3\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k^2+3k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^3+3k^2+2k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+3\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)\left\{\,n(n+1)+2(2n+1)+4\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n^2+n+4n+2+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n^2+5n+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)\left\{\,n(n+1)+2(2n+1)+4\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n^2+n+4n+2+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n^2+5n+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2\)
\({\small (2)}~1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
\({\small (2)}~1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.27 練習30
\({\small (1)}~2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2\)
この数列の第 \(k\) 項は \((2k)^2=4k^2\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 4k^2\)
定数を前に出して、公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 4k^2
\\[5pt]~~~&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2
\\[5pt]~~~&=&4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2
\\[5pt]~~~&=&4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
この数列の第 \(k\) 項は \((2k-1)^2\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k^2-4k+1)
\\[5pt]~~~&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2-4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1
\\[5pt]~~~&=&4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k^2-4k+1)
\\[5pt]~~~&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2-4\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1
\\[5pt]~~~&=&4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}n(n+1)+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left\{\,2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left\{\,2(2n^2+3n+1)-6n-6+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(4n^2+6n+2-6n-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(4n^2-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n-1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left\{\,2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left\{\,2(2n^2+3n+1)-6n-6+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(4n^2+6n+2-6n-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(4n^2-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n-1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots+n(n+2)\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.22 問30
\(1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots+n(n+2)\)
この数列の第 \(k\) 項は \(k(k+2)\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+2)\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2+2k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2+2k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,6\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,(2n+1)+6\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+7)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,(2n+1)+6\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+7)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項と、初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。
\(2\cdot 3^2\,,\,4\cdot 4^2\,,\,6\cdot 5^2\,,\,8\cdot 6^2\,,\,10\cdot 7^2\,,\,\cdots\)
\(2\cdot 3^2\,,\,4\cdot 4^2\,,\,6\cdot 5^2\,,\,8\cdot 6^2\,,\,10\cdot 7^2\,,\,\cdots\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題4(1)
\(2\cdot 3^2\,,\,4\cdot 4^2\,,\,6\cdot 5^2\,,\,8\cdot 6^2\,,\,10\cdot 7^2\,,\,\cdots\)
この数列の第 \(n\) 項について、各因数の規則性を調べると、
\(2\,,\,4\,,\,6\,,\,8\,,\,10\,,\,\cdots\) は初項 \(2\)、公差 \(2\) の等差数列より \(2n\)
\(3\,,\,4\,,\,5\,,\,6\,,\,7\,,\,\cdots\) は初項 \(3\)、公差 \(1\) の等差数列より \(n+2\)
よって、一般項 \(a_n\) は、
\(a_n=2n(n+2)^2\)
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k(k+2)^2\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^3+8k^2+8k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+8\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+8\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+8\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+8\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)+4n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^3+8k^2+8k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+8\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+8\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+8\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+8\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)+4n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,24\,}{\,6\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,3n(n+1)+8(2n+1)+24\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+3n+16n+8+24)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+19n+32)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,3n(n+1)+8(2n+1)+24\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+3n+16n+8+24)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+19n+32)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の数列の初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。
\(1\cdot 1\,,\,2\cdot 3\,,\,3\cdot 5\,,\,4\cdot 7\,,\,\cdots\)
\(1\cdot 1\,,\,2\cdot 3\,,\,3\cdot 5\,,\,4\cdot 7\,,\,\cdots\)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.32 問9
\(1\cdot 1\,,\,2\cdot 3\,,\,3\cdot 5\,,\,4\cdot 7\,,\,\cdots\)
この数列の第 \(k\) 項について、各因数の規則性を調べると、
\(1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,\cdots\) は初項 \(1\)、公差 \(1\) の等差数列より \(k\)
\(1\,,\,3\,,\,5\,,\,7\,,\,\cdots\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列より \(2k-1\)
よって、この数列の第 \(k\) 項は \(k(2k-1)\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(2k-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^2-k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^2-k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,2(2n+1)-3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+2-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n-1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,2(2n+1)-3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+2-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n-1)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項と、初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。
\({\small (1)}~1\cdot 3\,,\,2\cdot 5\,,\,3\cdot 7\,,\,4\cdot 9\,,\,\cdots\)
\({\small (2)}~2\cdot (-3)\,,\,4\cdot (-5)\,,\,6\cdot (-7)\,,\,8\cdot (-9)\,,\,\cdots\)
\({\small (1)}~1\cdot 3\,,\,2\cdot 5\,,\,3\cdot 7\,,\,4\cdot 9\,,\,\cdots\)
\({\small (2)}~2\cdot (-3)\,,\,4\cdot (-5)\,,\,6\cdot (-7)\,,\,8\cdot (-9)\,,\,\cdots\)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.40 Training 12
\({\small (1)}~1\cdot 3\,,\,2\cdot 5\,,\,3\cdot 7\,,\,4\cdot 9\,,\,\cdots\)
この数列の第 \(n\) 項について、各因数の規則性を調べると、
\(1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,\cdots\) は初項 \(1\)、公差 \(1\) の等差数列より \(n\)
\(3\,,\,5\,,\,7\,,\,9\,,\,\cdots\) は初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列より \(2n+1\)
よって、一般項 \(a_n\) は、
\(a_n=n(2n+1)\)
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)\)
展開してシグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,2(2n+1)+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+2+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,2(2n+1)+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+2+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~2\cdot (-3)\,,\,4\cdot (-5)\,,\,6\cdot (-7)\,,\,8\cdot (-9)\,,\,\cdots\)
この数列の第 \(n\) 項について、各因数の規則性を調べると、
\(2\,,\,4\,,\,6\,,\,8\,,\,\cdots\) は初項 \(2\)、公差 \(2\) の等差数列より \(2n\)
\(-3\,,\,-5\,,\,-7\,,\,-9\,,\,\cdots\) は初項 \(-3\)、公差 \(-2\) の等差数列より \(-(2n+1)\)
よって、一般項 \(a_n\) は、
\(a_n=2n\cdot\{-(2n+1)\}=-2n(2n+1)\)
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} \{-2k(2k+1)\}\)
\({\small (1)}\) の結果を利用すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{-2k(2k+1)\}
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)
\\[5pt]~~~&=&-2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(4n+5)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)
\\[5pt]~~~&=&-2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(4n+5)
\end{eqnarray}\)
