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問題｜一般項が数列の和となる数列の和
数列 34数列 \(\{~1 ~,~ 1+2 ~,~ 1+2+3 ~,~ \cdots~\}\) の初項から第 \(n\) 項までの数列の和の求め方は？(一般項が数列の和)
高校数学B｜数列
解法のPoint
一般項が数列の和となる数列の和
Point：一般項が数列の和となる数列の和
\(\{~1 ~,~ 1+2 ~,~ 1+2+3 ~,~ \cdots~\}\)
① 第 \(k\) 項を書き並べて、その和を計算して \(a_k\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&1+2+3+\cdots+k
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)
\end{eqnarray}\)
② \(a_k\) に \(k=1\sim n\) までの和をシグマ記号で表し、全体の和を求める。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)
一般項が数列の和となる数列の和の求め方は、
\(\{~1 ~,~ 1+2 ~,~ 1+2+3 ~,~ \cdots~\}\)
① 第 \(k\) 項を書き並べて、その和を計算して \(a_k\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&1+2+3+\cdots+k
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)
\end{eqnarray}\)
② \(a_k\) に \(k=1\sim n\) までの和をシグマ記号で表し、全体の和を求める。
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)
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詳しい解説｜一般項が数列の和となる数列の和
数列 34
数列 \(\{~1 ~,~ 1+2 ~,~ 1+2+3 ~,~ \cdots~\}\) の初項から第 \(n\) 項までの数列の和の求め方は？(一般項が数列の和)
高校数学B｜数列
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~~~a_2&=&1+2
\\[3pt]~~~a_3&=&1+2+3
\end{eqnarray}\)
これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、
\(~~~a_k=1+2+3+\cdots+k\)
これは \(1\sim k\) までの自然数の和であるので、
\(~~~\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)
よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}k^2+\frac{\,1\,}{\,2\,}k\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{k=1}^{n}k
\end{eqnarray}\)
公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,1\,}{\,4\,}\,n(n+1)
\end{eqnarray}\)
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,1\,}{\,4\,}\,n(n+1)
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,3\,}{\,12\,}\,n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)\left\{(2n+1)+3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)\cdot 2(n+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(n+2)
\end{eqnarray}\)
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+1)+\frac{\,3\,}{\,12\,}\,n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)\left\{(2n+1)+3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)(2n+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\,n(n+1)\cdot 2(n+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(n+2)
\end{eqnarray}\)
