一般項が数列の和となる数列の和

数研出版｜数学Ｂ[710] p.26 練習28

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2
\\[3pt]~a_2&=&1^2+2^2
\\[3pt]~a_3&=&1^2+2^2+3^2
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、

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\(~a_k=1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2\)

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これは \(1^2\sim k^2\) までの自然数の２乗の和であるので、

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\(~\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,6\,}(2k^3+3k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(2\sum_{k=1}^{n}k^3+3\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\right)
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}n(n+1)\) でくくると、

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数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.34 問題 10

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~a_2&=&1+2
\\[3pt]~a_3&=&1+2+3
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、

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\(~a_k=1+2+3+\cdots+k\)

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これは \(1\sim k\) までの自然数の和であるので、

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\(~\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}k^2+\frac{\,1\,}{\,2\,}k\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{k=1}^{n}k
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}n(n+1)\) でくくると、

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数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.49 章末問題A 5
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.46 章末問題A 5

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~a_2&=&1+3
\\[3pt]~a_3&=&1+3+5
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、

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\(~a_k=1+3+5+\cdots+(2k-1)\)

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これは初項 \(1\)、公差 \(2\)、項数 \(k\) の等差数列の和であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\left\{2\cdot 1+(k-1)\cdot 2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k(2+2k-2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\cdot 2k
\\[5pt]~~~&=&k^2
\end{eqnarray}\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題4(2)

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~a_2&=&1+2
\\[3pt]~a_3&=&1+2+4
\\[3pt]~a_4&=&1+2+4+8
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(n\) 項 \(a_n\) を書き並べると、

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\(~a_n=1+2+4+8+\cdots+2^{n-1}\)

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これは初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列の和であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot(2^n-1)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2^n-1
\end{eqnarray}\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2^k-1)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^k-\sum_{k=1}^{n}1
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.54 Level Up 4

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2
\\[3pt]~a_2&=&2+4
\\[3pt]~a_3&=&2+4+6
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、

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\(~a_k=2+4+6+\cdots+2k\)

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これは初項 \(2\)、公差 \(2\)、項数 \(k\) の等差数列の和であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\left\{2\cdot 2+(k-1)\cdot 2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k(4+2k-2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k(2k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\cdot 2(k+1)
\\[5pt]~~~&=&k(k+1)
\end{eqnarray}\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、

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東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.54 Level Up 6

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~a_2&=&11=1+10
\\[3pt]~a_3&=&111=1+10+100
\\[3pt]~a_4&=&1111=1+10+100+1000
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(n\) 項 \(a_n\) を書き並べると、

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\(~a_n=1+10+10^2+\cdots+10^{n-1}\)

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これは初項 \(1\)、公比 \(10\)、項数 \(n\) の等比数列の和であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot(10^n-1)\,}{\,10-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(10^n-1)
\end{eqnarray}\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,9\,}(10^k-1)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\sum_{k=1}^{n}(10^k-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\left(\sum_{k=1}^{n}10^k-\sum_{k=1}^{n}1\right)
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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通分して整理すると、

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