- 数学B｜数列「nから下がっていく数列の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜nから下がっていく数列の和
数列 35☆数列 \(\{\,1\cdot n \,,\, 2\cdot (n-1) \,,\, 3\cdot (n-2) \,,\, \cdots \,,\, n\cdot 1 \,\}\) の第 \(k\) 項と、この数列の和の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
nから下がっていく数列の和
Point：nから下がっていく数列の和
この数列は、初項は \(n\)、公差 \(-1\) の等差数列であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&n+(k-1)\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&n-k+1
\end{eqnarray}\)
数列 \(\{\,n~,~n-1~,~n-2~,~\cdots~,~1\,\}\) の第 \(k\) 項の求め方は、
この数列は、初項は \(n\)、公差 \(-1\) の等差数列であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&n+(k-1)\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&n-k+1
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜nから下がっていく数列の和
数列 35
数列 \(\{\,1\cdot n \,,\, 2\cdot (n-1) \,,\, 3\cdot (n-2) \,,\, \cdots \,,\, n\cdot 1 \,\}\) の第 \(k\) 項と、この数列の和の求め方は？
高校数学B｜数列
左側の数は \(1~,~2~,~3~,~\cdots~,~n\) より、第 \(k\) 項は \(k\)
右側の数は \(n~,~n-1~,~n-2~,~\cdots~,~1\) となり、
初項は \(n\)、公差 \(-1\) の等差数列となるので、第 \(k\) 項は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n+(k-1)\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&n-k+1
\end{eqnarray}\)
よって、この数列の第 \(k\) 項は \(k\,(n-k+1)\) となる
したがって、この数列の和は \(k=1\sim n\) までの和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\,(n-k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{-k^2+(n+1)k\right\}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n+1\) は \(k\) に関係のない定数より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+(n+1)\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k
\end{eqnarray}\)
公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \, n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\, n(n+1)^2
\end{eqnarray}\)
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) をくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \, n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\, n(n+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} n(n+1)\left\{-(2n+1)+3(n+1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} n(n+1)(-2n-1+3n+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} n(n+1)(n+2)
\end{eqnarray}\)
