階差数列をもつ数列の一般項

数研出版｜数学Ｂ[710] p.28 練習30

\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 7 ~,~ 14 ~,~ 23 ~,~ 34 ~,~ 47 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 7 ~,~ 14 ~,~ 23 ~,~ 34 ~,~ 47 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&2~~,~~7~~,~~14~~\,,~~23~~,~~34~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+5 ~ \,+7 ~ \,+9\, ~ +11
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,5~,~7~,~9~,~11~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列より、一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&5+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&5+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+3
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+3)
\\[5pt]~~~&=&2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k+3(n-1)
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&2+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}+3(n-1)
\\[5pt]~&=&2+(n-1)\cdot n+3n-3
\\[3pt]~&=&2+n^2-n+3n-3
\\[3pt]~~~&=&n^2+2n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2+2\cdot1-1=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=n^2+2n-1 \) となる

 

\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 4 ~,~ 13 ~,~ 40 ~,~ 121 ~,~ 364 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 4 ~,~ 13 ~,~ 40 ~,~ 121 ~,~ 364 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~4~~,~~13~~\,,~~40~~,~~121~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+3 ~ +9 ~+27\, ~ ~ +81
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,3~,~9~,~27~,~81~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列で、一般項は、

---

　\(b_n=3\cdot 3^{\,n-1}=3^n \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k
\end{eqnarray}\)

---

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \) は初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,3\left(3^{\,n-1}-1\right)}{\,3-1\,}
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \frac{\,3\cdot 3^{\,n-1}-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \frac{\,3^n-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2+3^n-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,3^1-1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,} \) となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.31 練習31
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.30 練習33

\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 4 ~,~ 7 ~,~ 11 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 4 ~,~ 7 ~,~ 11 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~2~~,~~4~~\,,~~7~~,~~11~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ \,+2 ~ \,+3\, ~ +4
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公差 \(1\) の等差数列より、一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1+(n-1)\cdot1
\\[3pt]~~~&=&1+n-1
\\[3pt]~~~&=&n
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\cdot n
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2+(n-1)\cdot n\,}{\,2\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2+n^2-n\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2-n+2\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1^2-1+2\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=\displaystyle \frac{\,n^2-n+2\,}{\,2\,} \) となる

 

\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 3 ~,~ 5 ~,~ 9 ~,~ 17 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 3 ~,~ 5 ~,~ 9 ~,~ 17 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&2~~,~~3~~,~~5~~\,,~~9~~,~~17~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ +2 ~+4\, ~ ~ +8
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~2~,~4~,~8~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列で、一般項は、

---

　\(b_n=1\cdot 2^{\,n-1}=2^{\,n-1} \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^{\,k-1}
\end{eqnarray}\)

---

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^{\,k-1} \) は初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\cdot\left(2^{\,n-1}-1\right)}{\,2-1\,}
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle \frac{\,2^{\,n-1}-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~&=&2+2^{\,n-1}-1
\\[3pt]~~~&=&2^{\,n-1}+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^{\,1-1}+1=2^0+1=1+1=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=2^{\,n-1}+1 \) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.24 問31

\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 5 ~,~ 10 ~,~ 17 ~,~ 26 ~,~ 37 ~,~ \cdots~\}\)

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数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 5 ~,~ 10 ~,~ 17 ~,~ 26 ~,~ 37 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~2~~,~~5~~\,,~~10~~,~~17~~,~~26~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ \,+3 ~ \,+5\, ~ +7 ~ ~ +9
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列より、一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&1+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n-1
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)
\\[5pt]~~~&=&1+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k-(n-1)
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}-(n-1)
\\[5pt]~&=&1+(n-1)\cdot n-(n-1)
\\[3pt]~&=&1+(n-1)(n-1)
\\[3pt]~&=&1+(n-1)^2
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-2\cdot1+2=1\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=n^2-2n+2 \) となる

 

\({\small (2)}~\)

\(\{a_n\}=\{~3 \,,\, 4 \,,\, 1 \,,\, 10 \,,\, -17 \,,\, 64 \,,\, -179 \,,\, \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&3~~,~~4~~,~~1~~\,,~~10~~,~~-17~~,~~64~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ -3 ~+9\, ~ ~ -27 ~ ~ ~ +81
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~-3~,~9~,~-27~,~81~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公比 \(-3\) の等比数列で、一般項は、

---

　\(b_n=1\cdot (-3)^{\,n-1}=(-3)^{\,n-1} \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (-3)^{\,k-1}
\end{eqnarray}\)

---

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (-3)^{\,k-1} \) は初項 \(1\)、公比 \(-3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&3+\displaystyle \frac{\,1\cdot\left\{(-3)^{\,n-1}-1\right\}}{\,(-3)-1\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle \frac{\,(-3)^{\,n-1}-1\,}{\,-4\,}
\\[5pt]~&=&3-\displaystyle \frac{\,(-3)^{\,n-1}-1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,12-(-3)^{\,n-1}+1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13-(-3)^{\,n-1}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,13-(-3)^{\,1-1}\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,13-1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,4\,}=3\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=\displaystyle \frac{\,13-(-3)^{\,n-1}\,}{\,4\,} \) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題 5

\(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 16 ~,~ 32 ~,~ 57 ~,~ 93 ~,~ \cdots~\}\)

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数列 \(\{a_n\}=\{~2 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 16 ~,~ 32 ~,~ 57 ~,~ 93 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&2~~,~~3~~,~~7~~\,,~~16~~,~~32~~,~~57~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ \,+4 ~ \,+9\, ~ +16 ~ ~ +25
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~4~,~9~,~16~,~25~,~\cdots\,\} \) となり、\(1^2~,~2^2~,~3^2~,~4^2~,~5^2~,~\cdots\) より、一般項は、

---

　\(b_n=n^2 \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^2
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(n-1)\{(n-1)+1\}\{2(n-1)+1\}
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,12+(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,12+(n^2-n)(2n-1)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,12+2n^3-n^2-2n^2+n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2n^3-3n^2+n+12\,}{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot1^3-3\cdot1^2+1+12\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-3+1+12\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,6\,}=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=\displaystyle \frac{\,2n^3-3n^2+n+12\,}{\,6\,} \) となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.35 問11

\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 5 ~,~ 10 ~,~ 17 ~,~ 26 ~,~ 37 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 2 ~,~ 5 ~,~ 10 ~,~ 17 ~,~ 26 ~,~ 37 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~2~~,~~5~~\,,~~10~~,~~17~~,~~26~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ \,+3 ~ \,+5\, ~ +7 ~ ~ +9
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列より、一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&1+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n-1
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)
\\[5pt]~~~&=&1+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k-(n-1)
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}-(n-1)
\\[5pt]~&=&1+(n-1)\cdot n-(n-1)
\\[3pt]~&=&1+(n-1)(n-1)
\\[3pt]~&=&1+(n-1)^2
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-2\cdot1+2=1\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=n^2-2n+2 \) となる

 

\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~3 ~,~ 4 ~,~ 7 ~,~ 16 ~,~ 43 ~,~ 124 ~,~ 367 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~3 ~,~ 4 ~,~ 7 ~,~ 16 ~,~ 43 ~,~ 124 ~,~ 367 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&3~~,~~4~~,~~7~~\,,~~16~~,~~43~~,~~124~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+1 ~ +3 ~+9\, ~ ~ +27 ~ ~ ~ +81
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,1~,~3~,~9~,~27~,~81~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(1\)、公比 \(3\) の等比数列で、一般項は、

---

　\(b_n=1\cdot 3^{\,n-1}=3^{\,n-1} \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^{\,k-1}
\end{eqnarray}\)

---

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^{\,k-1} \) は初項 \(1\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&3+\displaystyle \frac{\,1\cdot\left(3^{\,n-1}-1\right)}{\,3-1\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle \frac{\,3^{\,n-1}-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,6+3^{\,n-1}-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^{\,n-1}+5\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,3^{\,1-1}+5\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3^0+5\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1+5\,}{\,2\,}=3\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=\displaystyle \frac{\,3^{\,n-1}+5\,}{\,2\,} \) となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.40 Training 13

\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~4 ~,~ 10 ~,~ 20 ~,~ 34 ~,~ 52 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~4 ~,~ 10 ~,~ 20 ~,~ 34 ~,~ 52 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&4~~,~~10~~,~~20~~\,,~~34~~,~~52~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+6 ~ \,+10 ~ \,+14\, ~ +18
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,6~,~10~,~14~,~18~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(6\)、公差 \(4\) の等差数列より、一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&6+(n-1)\cdot4
\\[3pt]~~~&=&6+4n-4
\\[3pt]~~~&=&4n+2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&4+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (4k+2)
\\[5pt]~~~&=&4+4\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k+2(n-1)
\end{eqnarray}\)

---

公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&4+4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}+2(n-1)
\\[5pt]~&=&4+2(n-1)\cdot n+2(n-1)
\\[3pt]~&=&4+2(n-1)(n+1)
\\[3pt]~&=&4+2(n^2-1)
\\[3pt]~&=&4+2n^2-2
\\[3pt]~~~&=&2n^2+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot1^2+2=4\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=2n^2+2 \) となる

 

\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)

---

数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、

---

\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~3~~,~~7~~\,,~~15~~,~~31~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+2 ~ +4 ~+8\, ~ ~ +16
\end{eqnarray}\)

---

\( \{\,2~,~4~,~8~,~16~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列で、一般項は、

---

　\(b_n=2\cdot 2^{\,n-1}=2^n \)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k
\end{eqnarray}\)

---

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\left(2^{\,n-1}-1\right)}{\,2-1\,}
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\cdot 2^{\,n-1}-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~&=&1+2^n-2
\\[3pt]~~~&=&2^n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1-1=1\end{eqnarray}\)

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よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=2^n-1 \) となる