- 数学B｜数列「数列の和の式から一般項を求める」の基本例題解説ページです。
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問題｜数列の和の式から一般項を求める
数列 38初項から第 \(n\) 項までの和が \(S_n=n^2+n\) のとき、一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
数列の和の式から一般項を求める
Point：数列の和の式から一般項を求める
① \( n=1 \) として、\( a_1=S_1 \) より、\( a_1 \) を求める。
\( a_1=S_1=1^2+1=2 \)
② 初項から第 \( n-1 \) 項までの和 \( S_{n-1} \) は \(S_n\) を \(n \to n-1\) に書き換えることで求める。
\( S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-n \)
③ \( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) を用いて、一般項 \( a_n \) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(n^2+n)-(n^2-n)=2n
\end{eqnarray}\)
④ 求めた一般項 \( a_n \) が \( n=1 \) のときも成り立つことを確認する。
\(a_1=2\cdot 1=2\) より、成り立つ。
数列 \( \{a_n\} \) の初項から第 \( n \) 項までの和 \( S_n \) から一般項の求め方は、
① \( n=1 \) として、\( a_1=S_1 \) より、\( a_1 \) を求める。
\( a_1=S_1=1^2+1=2 \)
② 初項から第 \( n-1 \) 項までの和 \( S_{n-1} \) は \(S_n\) を \(n \to n-1\) に書き換えることで求める。
\( S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-n \)
③ \( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) を用いて、一般項 \( a_n \) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(n^2+n)-(n^2-n)=2n
\end{eqnarray}\)
④ 求めた一般項 \( a_n \) が \( n=1 \) のときも成り立つことを確認する。
\(a_1=2\cdot 1=2\) より、成り立つ。
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詳しい解説｜数列の和の式から一般項を求める
数列 38
初項から第 \(n\) 項までの和が \(S_n=n^2+n\) のとき、一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、
\( a_1=S_1=1^2+1=2 \)
ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2+n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2+(n-1)
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1+n-1
\\[3pt]~~~&=&n^2-n
\end{eqnarray}\)
よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(n^2+n)-(n^2-n)
\\[3pt]~~~&=&n^2+n-n^2+n
\\[3pt]~~~&=&2n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 1=2
\end{eqnarray}\)
よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
したがって、一般項は \( a_n=2n \) となる
