数列の和の式から一般項を求める

数研出版｜数学Ｂ[710] p.29 練習31

\({\small (1)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

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　\( a_1=S_1=3\cdot 1^2-2\cdot 1=1 \)

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=3n^2-2n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&3(n-1)^2-2(n-1)
\\[3pt]~~~&=&3(n^2-2n+1)-2n+2
\\[3pt]~~~&=&3n^2-6n+3-2n+2
\\[3pt]~~~&=&3n^2-8n+5
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(3n^2-2n)-(3n^2-8n+5)
\\[3pt]~~~&=&3n^2-2n-3n^2+8n-5
\\[3pt]~~~&=&6n-5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&6\cdot 1-5=1
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=6n-5 \) となる

 

\({\small (2)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=3^1-1=2 \)

---

ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=3^n-1 \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&3^{n-1}-1
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(3^n-1)-(3^{n-1}-1)
\\[3pt]~~~&=&3^n-1-3^{n-1}+1
\\[3pt]~~~&=&3^n-3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 3^{n-1}-3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 3^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 3^{1-1}=2\cdot 3^0=2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=2\cdot 3^{n-1} \) となる

数研出版｜数学Ｂ[710] p.33 問題 5

\({\small (1)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

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　\( a_1=S_1=1\cdot 2^1=2 \)

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n\cdot 2^n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&n\cdot 2^n-(n-1)\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2(n-1)\cdot 2^{n-1}-(n-1)\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&\{2(n-1)-(n-1)\}\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(2n-n+1)\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(n+1)\cdot 2^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&(1+1)\cdot 2^{1-1}=2\cdot 2^0=2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=(n+1)\cdot 2^{n-1} \) となる

 

\({\small (2)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2 \)

---

ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2) \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(n-1)n(n+1)
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[5pt]~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(n-1)n(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)\{(n+2)-(n-1)\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)\cdot 3
\\[5pt]~~~&=&n(n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1\cdot 2=2
\end{eqnarray}\)

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よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=n(n+1) \) となる

 

\({\small (3)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=1^3+2\cdot 1+6=9 \)

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^3+2n+6 \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^3+2(n-1)+6
\\[3pt]~~~&=&n^3-3n^2+3n-1+2n-2+6
\\[3pt]~~~&=&n^3-3n^2+5n+3
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(n^3+2n+6)-(n^3-3n^2+5n+3)
\\[3pt]~~~&=&n^3+2n+6-n^3+3n^2-5n-3
\\[3pt]~~~&=&3n^2-3n+3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&3\cdot 1^2-3\cdot 1+3=3
\end{eqnarray}\)

---

これは \( a_1=9 \) と一致しない

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したがって、一般項は

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&9
\\[3pt]~~~a_n&=&3n^2-3n+3~~(n{\small ~≧~}2)
\end{eqnarray}\)

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となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.31 練習32
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.30 練習34

\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

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　\( a_1=S_1=1^2-1=0 \)

---

ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2-n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2-(n-1)
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1-n+1
\\[3pt]~~~&=&n^2-3n+2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(n^2-n)-(n^2-3n+2)
\\[3pt]~~~&=&n^2-n-n^2+3n-2
\\[3pt]~~~&=&2n-2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 1-2=0
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=2n-2 \) となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.34 問題 11
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.46 章末問題A 6

\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=1^2+1=2 \)

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2+1 \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2+1
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1+1
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(n^2+1)-(n^2-2n+2)
\\[3pt]~~~&=&n^2+1-n^2+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 1-1=1
\end{eqnarray}\)

---

これは \( a_1=2 \) と一致しない

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したがって、一般項は

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2
\\[3pt]~~~a_n&=&2n-1~~(n{\small ~≧~}2)
\end{eqnarray}\)

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となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.25 問32
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.36 問12
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.40 Training 14

\({\small (1)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4 \)

---

ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2+3n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2+3(n-1)
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1+3n-3
\\[3pt]~~~&=&n^2+n-2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(n^2+3n)-(n^2+n-2)
\\[3pt]~~~&=&n^2+3n-n^2-n+2
\\[3pt]~~~&=&2n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 1+2=4
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=2n+2 \) となる

 

\({\small (2)}~\)\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

---

　\( a_1=S_1=3^1-1=2 \)

---

ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=3^n-1 \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&3^{n-1}-1
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(3^n-1)-(3^{n-1}-1)
\\[3pt]~~~&=&3^n-1-3^{n-1}+1
\\[3pt]~~~&=&3^n-3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 3^{n-1}-3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 3^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 3^{1-1}=2\cdot 3^0=2
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、一般項は \( a_n=2\cdot 3^{n-1} \) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題 7

\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

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　\( a_1=S_1=1^2-1+1=1 \)

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2-n+1 \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2-(n-1)+1
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1-n+1+1
\\[3pt]~~~&=&n^2-3n+3
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~&=&(n^2-n+1)-(n^2-3n+3)
\\[3pt]~~~&=&n^2-n+1-n^2+3n-3
\\[3pt]~~~&=&2n-2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2\cdot 1-2=0
\end{eqnarray}\)

---

これは \( a_1=1 \) と一致しない

---

したがって、一般項は

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~~~a_n&=&2n-2~~(n{\small ~≧~}2)
\end{eqnarray}\)

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となる