- 数学B｜数列「部分分数に分ける分数数列の和」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜部分分数に分ける分数数列の和
数列 39分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\) と \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
部分分数に分ける分数数列の和
Point：部分分数に分ける分数数列の和
① 分数数列を部分分数に分ける恒等式を作る。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k+1\,}\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,{\small \text {小}}\,}-\frac{\,1\,}{\,{\small \text {大}}\,}\) になるように分ける。
② 部分分数に分けた式に \(k=1\sim n\) までの自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\right)
\\[5pt]~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n\,}}-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~1-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}=\frac{\,n\,}{\,n+1\,}\end{eqnarray}\)
分数数列の和の求め方は、
① 分数数列を部分分数に分ける恒等式を作る。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k+1\,}\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,{\small \text {小}}\,}-\frac{\,1\,}{\,{\small \text {大}}\,}\) になるように分ける。
② 部分分数に分けた式に \(k=1\sim n\) までの自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\right)
\\[5pt]~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n\,}}-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~1-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}=\frac{\,n\,}{\,n+1\,}\end{eqnarray}\)
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜部分分数に分ける分数数列の和
数列 39
分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\) と \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
高校数学B｜数列
\(\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}\) を部分分数に分けた式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}&=&\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}
\\[5pt]~~~&=&\frac{1}{k(k+1)}
\end{eqnarray}\)
よって、恒等式
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\left(\displaystyle \frac{1}{k}-\displaystyle \frac{1}{k+1}\right)\end{eqnarray}\)
が成り立つ
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}
\\[5pt]~~~&=&\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) までの自然数を代入した和を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,4\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n-1\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,n\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n\,}}-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}\right)
\end{eqnarray}\)
消えていく項と残る項を確認すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1-\frac{\,1\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,(n+1)-1\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) を部分分数に分けた式は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}
\\[5pt]~~~&=&\frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}
\\[5pt]~~~&=&\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}
\end{eqnarray}\)
※ 分子が \(2\) となるので、両辺を \(2\) で割る。
よって、恒等式
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}&=&\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
\end{eqnarray}\)
が成り立つ
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}
\\[5pt]~~~&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
\\[5pt]~~~&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) までの自然数を代入した和を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~=&&\frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)\right.
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,5\,}}\right)
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,5\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,7\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-1\,}}\right)
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left. \left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-1\,}}-\frac{\,1\,}{\,2n+1\,}\right) \right\}
\end{eqnarray}\)
消えていく項と残る項を確認すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\frac{1}{2} \left(1-\frac{\,1\,}{\,2n+1\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{\,(2n+1)-1\,}{\,2n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{\,2n\,}{\,2n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,n\,}{\,2n+1\,}
\end{eqnarray}\)
