- 数学B｜数列「平方根を含む数列の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜平方根を含む数列の和
数列 40平方根を含む分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
平方根を含む数列の和
Point：平方根を含む数列の和
① 平方根を含む分数の分母を有理化する。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}
&=&\sqrt{k+1}-\sqrt{k}
\end{eqnarray}\)
② 有理化した式に、\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&(\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~+&&(\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt{n}})
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(-\sqrt{1}+\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}-1\)
平方根を含む数列の和は、
① 平方根を含む分数の分母を有理化する。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}
&=&\sqrt{k+1}-\sqrt{k}
\end{eqnarray}\)
② 有理化した式に、\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&(\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~+&&(\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt{n}})
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(-\sqrt{1}+\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}-1\)
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詳しい解説｜平方根を含む数列の和
数列 40
平方根を含む分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}\) の求め方は？
高校数学B｜数列
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,(\sqrt{k})^2-(\sqrt{k+1})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,k-(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{k+1}-\sqrt{k}
\end{eqnarray}\)
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&(\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{4}}-\cancel{\sqrt{3}})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{n}}-\cancel{\sqrt{n-1}})
\\[3pt]~~~+&&(\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt{n}})
\end{eqnarray}\)
\(-\sqrt{1}\) と \(\sqrt{n+1}\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\sqrt{1}+\sqrt{n+1}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{n+1}-1
\end{eqnarray}\)
