このページは、「平方根を含む数列の和」の練習問題アーカイブページとなります。
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平方根を含む数列の和 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の和 \(S\) を求めよ。
\(\displaystyle S=\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1}+\sqrt{3}\,}+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{5}\,}+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{7}\,}\\[5pt]\displaystyle \hspace{30pt}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}\,}\)
\(\displaystyle S=\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1}+\sqrt{3}\,}+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{5}\,}+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{7}\,}\\[5pt]\displaystyle \hspace{30pt}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}\,}\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.33 問題 6
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,(\sqrt{2k-1})^2-(\sqrt{2k+1})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,(2k-1)-(2k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,(\sqrt{2k-1})^2-(\sqrt{2k+1})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,(2k-1)-(2k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{\,\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&&(\cancel{\sqrt{3}}-\sqrt{1})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{5}}-\cancel{\sqrt{3}})
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{7}}-\cancel{\sqrt{5}})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~+&&(\cancel{\sqrt{2n-1}}-\cancel{\sqrt{2n-3}})
\\[3pt]~~~+&&(\sqrt{2n+1}-\cancel{\sqrt{2n-1}})
\end{eqnarray}\)
\(-\sqrt{1}\) と \(\sqrt{2n+1}\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(-\sqrt{1}+\sqrt{2n+1}\right)
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,\sqrt{2n+1}-1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
