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等差数列×等比数列の数列の和 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( S=1\cdot 1+3\cdot 3\\ \hspace{30pt}+5\cdot 3^2+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1} \)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.31 練習34
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.34 問題 13
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.34 補充問題 8
\( S=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(3\) を両辺に掛けると、
\( 3S=1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n} \)
ここで、\(3S\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ (2n-1)\cdot 3^{n-1} \\
-\big{)}~~3S&=&~~~~~~~~~~~1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots+(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n}\\
\hline -2S&=&1\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S&=&1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~3S&=&~~~~~~~~~~~1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots+(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n}\\
\hline -2S&=&1\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S&=&1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}=1+2(3+3^2+\cdots+3^{n-1})\) であり、
\(3+3^2+\cdots+3^{n-1}\) は初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-2S&=&1+2\cdot\displaystyle \frac{\,3(3^{n-1}-1)\,}{\,3-1\,}-(2n-1)\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S&=&1+(3^{n}-3)-(2n-1)\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S&=&3^{n}-2-(2n-1)\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S&=&-2-(2n-2)\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~S&=&1+(n-1)\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~S&=&(n-1)\cdot 3^{n}+1
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=(n-1)\cdot 3^{n}+1\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\( S=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1} \) とする。
\({\small (1)}~\) \( r=1 \) のとき、\( S \) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \( r\neq 1 \) のとき、\( S \) を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( r=1 \) のとき、\( S \) を求めよ。
\({\small (2)}~\) \( r\neq 1 \) のとき、\( S \) を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.31 練習35
\({\small (1)}~\) \( r=1 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&1+2\cdot 1+3\cdot 1^2+\cdots+n\cdot 1^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \( r\neq 1 \) のとき、
\( S=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(r\) を両辺に掛けると、
\( rS=1\cdot r+2r^2+3r^3+\cdots+nr^{n} \)
ここで、\(rS\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&1\cdot 1+2\cdot r+3\cdot r^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ n\cdot r^{n-1} \\
~~-\big{)}~~~~~~~~rS&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot r+2\cdot r^2+3\cdot r^3+\cdots+(n-1)\cdot r^{n-1}+n\cdot r^{n}\\
\hline (1-r)S&=&1\cdot 1+1\cdot r+1\cdot r^2+1\cdot r^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot r^{n-1}-n\cdot r^{n}
\\[2pt] (1-r)S&=&1+r+r^2+r^3+\cdots+r^{n-1}-n\cdot r^{n}\end{eqnarray}\)
~~-\big{)}~~~~~~~~rS&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot r+2\cdot r^2+3\cdot r^3+\cdots+(n-1)\cdot r^{n-1}+n\cdot r^{n}\\
\hline (1-r)S&=&1\cdot 1+1\cdot r+1\cdot r^2+1\cdot r^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot r^{n-1}-n\cdot r^{n}
\\[2pt] (1-r)S&=&1+r+r^2+r^3+\cdots+r^{n-1}-n\cdot r^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(r\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~(1-r)S&=&\displaystyle \frac{\,1-r^{n}\,}{\,1-r\,}-nr^{n}
\end{eqnarray}\)
両辺を \((1-r)\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1-r^{n}\,}{\,(1-r)^2\,}-\displaystyle \frac{\,nr^{n}\,}{\,1-r\,}
\\[5pt]~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1-r^{n}\,}{\,(1-r)^2\,}-\displaystyle \frac{\,nr^{n}(1-r)\,}{\,(1-r)^2\,}
\\[5pt]~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1-r^{n}-nr^{n}+nr^{n+1}\,}{\,(1-r)^2\,}
\\[5pt]~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1-(n+1)r^{n}+nr^{n+1}\,}{\,(1-r)^2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1-(n+1)r^{n}+nr^{n+1}\,}{\,(1-r)^2\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\( S=3\cdot 2+5\cdot 2^2\\ \hspace{30pt}+7\cdot 2^3+\cdots+(2n+1)\cdot 2^n \)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.50 演習問題A 1
\( S=3\cdot 2+5\cdot 2^2+7\cdot 2^3+\cdots+(2n+1)\cdot 2^n \)
とおき、右側の数列の公比 \(2\) を両辺に掛けると、
\( 2S=3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+7\cdot 2^4+\cdots+(2n+1)\cdot 2^{n+1} \)
ここで、\(2S\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&3\cdot 2+5\cdot 2^2+7\cdot 2^3+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ (2n+1)\cdot 2^n \\
-\big{)}~~2S&=&~~~~~~~~~~~~3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+7\cdot 2^4+~~\cdots~~+(2n-1)\cdot 2^{n}+(2n+1)\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S&=&3\cdot 2+2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+2\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 2^{n}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S&=&6+2^3+2^4+\cdots+2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~2S&=&~~~~~~~~~~~~3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+7\cdot 2^4+~~\cdots~~+(2n-1)\cdot 2^{n}+(2n+1)\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S&=&3\cdot 2+2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+2\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 2^{n}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S&=&6+2^3+2^4+\cdots+2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(2^3+2^4+\cdots+2^{n+1}\) は初項 \(2^3\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-S&=&6+\displaystyle \frac{\,2^3(2^{n-1}-1)\,}{\,2-1\,}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&6+2^{n+2}-8-(2n+1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&-2+2\cdot 2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&-2+(2-2n-1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&-2-(2n-1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&2+(2n-1)\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&(2n-1)\cdot 2^{n+1}+2
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=(2n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\( S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots+n\cdot 3^{n-1} \)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.32 練習34
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.32 練習36
\( S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots+n\cdot 3^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(3\) を両辺に掛けると、
\( 3S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+n\cdot 3^{n} \)
ここで、\(3S\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ n\cdot 3^{n-1} \\
-\big{)}~~3S&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+(n-1)\cdot 3^{n-1}+n\cdot 3^{n}\\
\hline -2S&=&1\cdot 1+1\cdot 3+1\cdot 3^2+1\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S&=&1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}-n\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~3S&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+(n-1)\cdot 3^{n-1}+n\cdot 3^{n}\\
\hline -2S&=&1\cdot 1+1\cdot 3+1\cdot 3^2+1\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S&=&1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}-n\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(3\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-2S&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}-1\,}{\,3-1\,}-n\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}-1\,}{\,2\,}-n\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}-1-2n\cdot 3^{n}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~-4S&=&3^{n}-1-2n\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-4S&=&(1-2n)\cdot 3^{n}-1
\\[5pt]~~~4S&=&(2n-1)\cdot 3^{n}+1
\\[5pt]~~~S&=&\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n}+1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n}+1\,}{\,4\,}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\( S_n=2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 3^2\\ \hspace{40pt}+8\cdot 3^3+\cdots+2n\cdot 3^{n-1} \)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.27 問34
\( S_n=2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 3^2+8\cdot 3^3+\cdots+2n\cdot 3^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(3\) を両辺に掛けると、
\( 3S_n=2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3+8\cdot 3^4+\cdots+2n\cdot 3^{n} \)
ここで、\(3S_n\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S_n\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 3^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ 2n\cdot 3^{n-1} \\
-\big{)}~~3S_n&=&~~~~~~~~~~~~2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3+\cdots+(2n-2)\cdot 3^{n-1}+2n\cdot 3^{n}\\
\hline -2S_n&=&2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n-1}-2n\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S_n&=&2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}-2n\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~3S_n&=&~~~~~~~~~~~~2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3+\cdots+(2n-2)\cdot 3^{n-1}+2n\cdot 3^{n}\\
\hline -2S_n&=&2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n-1}-2n\cdot 3^{n}
\\[2pt] -2S_n&=&2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}-2n\cdot 3^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(2+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots+2\cdot 3^{n-1}=2(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1})\) であり、
\(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(3\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-2S_n&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,3^{n}-1\,}{\,3-1\,}-2n\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S_n&=&3^{n}-1-2n\cdot 3^{n}
\\[5pt]~~~-2S_n&=&(1-2n)\cdot 3^{n}-1
\\[5pt]~~~2S_n&=&(2n-1)\cdot 3^{n}+1
\\[5pt]~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n}+1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_n=\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n}+1\,}{\,2\,}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\( S_n=4\cdot 1+7\cdot 4+10\cdot 4^2\\ \hspace{30pt}+13\cdot 4^3+\cdots+(3n+1)\cdot 4^{n-1} \)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.29 問題 9
\( S_n=4\cdot 1+7\cdot 4+10\cdot 4^2+13\cdot 4^3+\cdots+(3n+1)\cdot 4^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(4\) を両辺に掛けると、
\( 4S_n=4\cdot 4+7\cdot 4^2+10\cdot 4^3+13\cdot 4^4+\cdots+(3n+1)\cdot 4^{n} \)
ここで、\(4S_n\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S_n\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&4\cdot 1+7\cdot 4+10\cdot 4^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ (3n+1)\cdot 4^{n-1} \\
-\big{)}~~4S_n&=&~~~~~~~~~~~~4\cdot 4+7\cdot 4^2+10\cdot 4^3+\cdots+(3n-2)\cdot 4^{n-1}+(3n+1)\cdot 4^{n}\\
\hline -3S_n&=&4\cdot 1+3\cdot 4+3\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+3\cdot 4^{n-1}-(3n+1)\cdot 4^{n}
\\[2pt] -3S_n&=&4+3\cdot 4+3\cdot 4^2+\cdots+3\cdot 4^{n-1}-(3n+1)\cdot 4^{n}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~4S_n&=&~~~~~~~~~~~~4\cdot 4+7\cdot 4^2+10\cdot 4^3+\cdots+(3n-2)\cdot 4^{n-1}+(3n+1)\cdot 4^{n}\\
\hline -3S_n&=&4\cdot 1+3\cdot 4+3\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+3\cdot 4^{n-1}-(3n+1)\cdot 4^{n}
\\[2pt] -3S_n&=&4+3\cdot 4+3\cdot 4^2+\cdots+3\cdot 4^{n-1}-(3n+1)\cdot 4^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(4+3\cdot 4+3\cdot 4^2+\cdots+3\cdot 4^{n-1}=4+3(4+4^2+\cdots+4^{n-1})\) であり、
\(4+4^2+\cdots+4^{n-1}\) は初項 \(4\)、公比 \(4\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-3S_n&=&4+3\cdot\displaystyle \frac{\,4(4^{n-1}-1)\,}{\,4-1\,}-(3n+1)\cdot 4^{n}
\\[5pt]~~~-3S_n&=&4+(4^{n}-4)-(3n+1)\cdot 4^{n}
\\[5pt]~~~-3S_n&=&4^{n}-(3n+1)\cdot 4^{n}
\\[5pt]~~~-3S_n&=&(1-3n-1)\cdot 4^{n}
\\[5pt]~~~-3S_n&=&-3n\cdot 4^{n}
\\[5pt]~~~S_n&=&n\cdot 4^{n}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_n=n\cdot 4^{n}\)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\( S_n=2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3\\ \hspace{40pt}+8\cdot 3^4+\cdots+2n\cdot 3^n \)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.44 練習問題A 6
\( S_n=2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3+8\cdot 3^4+\cdots+2n\cdot 3^n \)
とおき、右側の数列の公比 \(3\) を両辺に掛けると、
\( 3S_n=2\cdot 3^2+4\cdot 3^3+6\cdot 3^4+8\cdot 3^5+\cdots+2n\cdot 3^{n+1} \)
ここで、\(3S_n\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S_n\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&2\cdot 3+4\cdot 3^2+6\cdot 3^3+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ 2n\cdot 3^{n} \\
-\big{)}~~3S_n&=&~~~~~~~~~~~~2\cdot 3^2+4\cdot 3^3+6\cdot 3^4+\cdots+(2n-2)\cdot 3^{n}+2n\cdot 3^{n+1}\\
\hline -2S_n&=&2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+2\cdot 3^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n}-2n\cdot 3^{n+1}
\\[2pt] -2S_n&=&2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\cdots+2\cdot 3^{n}-2n\cdot 3^{n+1}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~3S_n&=&~~~~~~~~~~~~2\cdot 3^2+4\cdot 3^3+6\cdot 3^4+\cdots+(2n-2)\cdot 3^{n}+2n\cdot 3^{n+1}\\
\hline -2S_n&=&2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+2\cdot 3^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+2\cdot 3^{n}-2n\cdot 3^{n+1}
\\[2pt] -2S_n&=&2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\cdots+2\cdot 3^{n}-2n\cdot 3^{n+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(2\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\cdots+2\cdot 3^{n}=2(3+3^2+3^3+\cdots+3^{n})\) であり、
\(3+3^2+3^3+\cdots+3^{n}\) は初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-2S_n&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,3(3^{n}-1)\,}{\,3-1\,}-2n\cdot 3^{n+1}
\\[5pt]~~~-2S_n&=&3^{n+1}-3-2n\cdot 3^{n+1}
\\[5pt]~~~-2S_n&=&(1-2n)\cdot 3^{n+1}-3
\\[5pt]~~~2S_n&=&(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3
\\[5pt]~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_n=\displaystyle \frac{\,(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3\,}{\,2\,}\)
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\( S_n=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^{n-1} \)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.38 問14
\( S_n=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^{n-1} \)
とおき、右側の数列の公比 \(2\) を両辺に掛けると、
\( 2S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^{n} \)
ここで、\(2S_n\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S_n\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ n\cdot 2^{n-1} \\
-\big{)}~~2S_n&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^{n}\\
\hline -S_n&=&1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 2^{n-1}-n\cdot 2^{n}
\\[2pt] -S_n&=&1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot 2^{n}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~2S_n&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^{n}\\
\hline -S_n&=&1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 2^{n-1}-n\cdot 2^{n}
\\[2pt] -S_n&=&1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot 2^{n}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-S_n&=&\displaystyle \frac{\,2^{n}-1\,}{\,2-1\,}-n\cdot 2^{n}
\\[5pt]~~~-S_n&=&2^{n}-1-n\cdot 2^{n}
\\[5pt]~~~-S_n&=&(1-n)\cdot 2^{n}-1
\\[5pt]~~~S_n&=&(n-1)\cdot 2^{n}+1
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_n=(n-1)\cdot 2^{n}+1\)
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09\( S_n=3\cdot 2+6\cdot 2^2+9\cdot 2^3\\ \hspace{40pt}+12\cdot 2^4+\cdots+3n\cdot 2^n \)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.40 Training 16
\( S_n=3\cdot 2+6\cdot 2^2+9\cdot 2^3+12\cdot 2^4+\cdots+3n\cdot 2^n \)
とおき、右側の数列の公比 \(2\) を両辺に掛けると、
\( 2S_n=3\cdot 2^2+6\cdot 2^3+9\cdot 2^4+12\cdot 2^5+\cdots+3n\cdot 2^{n+1} \)
ここで、\(2S_n\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S_n\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&3\cdot 2+6\cdot 2^2+9\cdot 2^3+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ 3n\cdot 2^{n} \\
-\big{)}~~2S_n&=&~~~~~~~~~~~~3\cdot 2^2+6\cdot 2^3+9\cdot 2^4+\cdots+3(n-1)\cdot 2^{n}+3n\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S_n&=&3\cdot 2+3\cdot 2^2+3\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+3\cdot 2^{n}-3n\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S_n&=&3\cdot 2+3\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+3\cdot 2^{n}-3n\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~2S_n&=&~~~~~~~~~~~~3\cdot 2^2+6\cdot 2^3+9\cdot 2^4+\cdots+3(n-1)\cdot 2^{n}+3n\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S_n&=&3\cdot 2+3\cdot 2^2+3\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+3\cdot 2^{n}-3n\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S_n&=&3\cdot 2+3\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+3\cdot 2^{n}-3n\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(3\cdot 2+3\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+3\cdot 2^{n}=3(2+2^2+2^3+\cdots+2^{n})\) であり、
\(2+2^2+2^3+\cdots+2^{n}\) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~-S_n&=&3\cdot\displaystyle \frac{\,2(2^{n}-1)\,}{\,2-1\,}-3n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S_n&=&3(2^{n+1}-2)-3n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S_n&=&3\cdot 2^{n+1}-6-3n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S_n&=&(3-3n)\cdot 2^{n+1}-6
\\[5pt]~~~-S_n&=&3(1-n)\cdot 2^{n+1}-6
\\[5pt]~~~S_n&=&3(n-1)\cdot 2^{n+1}+6
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_n=3(n-1)\cdot 2^{n+1}+6\)
