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群数列の第n群の最初の項と第n群の和 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01自然数の列を、次のように群に分ける。ただし、第 \(n\) 群には \((2n-1)\) 個の自然数が入るものとする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~2,\,3,\,4~~|~~5,\,6,\,7,\,8,\,9~~|~~10,\,\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の自然数を求めよ。
\({\small (2)}~\) 第 \(10\) 群にあるすべての自然数の和を求めよ。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~2,\,3,\,4~~|~~5,\,6,\,7,\,8,\,9~~|~~10,\,\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の自然数を求めよ。
\({\small (2)}~\) 第 \(10\) 群にあるすべての自然数の和を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.32 練習36
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.34 問題 14
群の番号を \(n\) 、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、数列は自然数の列であり、\(a_l=l\) である
\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~~~~~2~~~~~~|~~~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~~4~~|~~5~~~6~~~7~~~8~~~9~~~|~~~10~~~
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~~4~~|~~5~~~6~~~7~~~8~~~9~~~|~~~10~~~
\end{eqnarray}\)
また、各群には \((2n-1)\) 個の項があるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、奇数の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2n-3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{1+(2n-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)(2n-2)
\\[5pt]~~~&=&(n-1)^2
\end{eqnarray}\)
よって、第 \(n\) 群の最初の項は、初項から数えて、
第 \((n-1)^2+1\) 項となるので、
\(l=(n-1)^2+1\) として、\(a_l=l\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(n-1)^2+1
\\[5pt]~~~&=&n^2-2n+1+1
\\[5pt]~~~&=&n^2-2n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(1^2-2\cdot 1+2=1\)
これは第 \(1\) 群の最初の項より、\(n=1\) のときも成り立つ
したがって、第 \(n\) 群の最初の自然数は \(n^2-2n+2\) となる
次に、第 \(n\) 群のすべての項の和は、
最初の項が \(n^2-2n+2\) であり、公差 \(1\)、項数 \((2n-1)\) となるので、等差数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\cdot\left\{\,2(n^2-2n+2)+(2n-2)\cdot 1\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\,\left(2n^2-4n+4+2n-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\,(2n^2-2n+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\cdot 2\,(n^2-n+1)
\\[5pt]~~~&=&(2n-1)(n^2-n+1)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\,\left(2n^2-4n+4+2n-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\,(2n^2-2n+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,(2n-1)\cdot 2\,(n^2-n+1)
\\[5pt]~~~&=&(2n-1)(n^2-n+1)
\end{eqnarray}\)
したがって、第 \(10\) 群のすべての自然数の和は、\(n=10\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2\cdot 10-1)(10^2-10+1)
\\[5pt]~~~&=&19\cdot 91
\\[5pt]~~~&=&1729
\end{eqnarray}\)
したがって、第 \(10\) 群にあるすべての自然数の和は \(1729\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02正の奇数の列を、次のような群に分ける。ただし、第 \(n\) 群には \(n\) 個の数が入るものとする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~3,\,5~~|~~7,\,9,\,11~~|\\&&~~~~~~~13,\,15,\,17,\,19~~|~~21,\,\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の数を \(n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) 第 \(15\) 群に入るすべての数の和 \(S\) を求めよ。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~3,\,5~~|~~7,\,9,\,11~~|\\&&~~~~~~~13,\,15,\,17,\,19~~|~~21,\,\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の数を \(n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) 第 \(15\) 群に入るすべての数の和 \(S\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.33 練習35
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.33 練習37
群の番号を \(n\) 、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、数列は正の奇数の列であり、\(a_l=2l-1\) である
\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~~2~~~~|~~~~~~~3~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~|~~4~~~5~~~6~~~~|~~~7~~~8~~~9~~~10
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~|~~3~~~5~~|~~7~~~9~~~11~~|~~13~~~15~~~17~~~19
\end{eqnarray}\)
また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項があるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、自然数の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)
よって、第 \(n\) 群の最初の項は、初項から数えて、
第 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) 項となるので、
\(l=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) として、\(a_l=2l-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)n+1\right\}-1
\\[5pt]~~~&=&(n-1)n+2-1
\\[5pt]~~~&=&n^2-n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(1^2-1+1=1\)
これは第 \(1\) 群の最初の項より、\(n=1\) のときも成り立つ
したがって、第 \(n\) 群の最初の数は \(n^2-n+1\) となる
次に、第 \(n\) 群のすべての項の和は、
最初の項が \(n^2-n+1\) であり、公差 \(2\)、項数 \(n\) となるので、等差数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\cdot\left\{\,2(n^2-n+1)+(n-1)\cdot 2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,\left(2n^2-2n+2+2n-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(2n^2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\cdot 2\,n^2
\\[5pt]~~~&=&n^3
\end{eqnarray}\)
したがって、第 \(15\) 群に入るすべての数の和 \(S\) は、\(n=15\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&15^3
\\[5pt]~~~&=&3375
\end{eqnarray}\)
したがって、第 \(15\) 群に入るすべての数の和は \(S=3375\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03自然数の列を次のような群に分け、第 \(n\) 群には \(2n\) 個の数が入るようにする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1,\,2~~|~~3,\,4,\,5,\,6~~|\\&&~~~~~~~7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12~~|~~\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 第 \(n\) 群のすべての項の和を求めよ。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1,\,2~~|~~3,\,4,\,5,\,6~~|\\&&~~~~~~~7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12~~|~~\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 第 \(n\) 群のすべての項の和を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.28 問35
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.39 問15
群の番号を \(n\) 、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、数列は自然数の列であり、\(a_l=l\) である
\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~~~~1~~~~|~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~|~~~3
\\[1pt]l~&~|~&~1~~~2~~|~~3~~~4~~~5~~~6~~|~~7~~~8~~~9~~~10~~~11~~~12
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~~2~~|~~3~~~4~~~5~~~6~~|~~7~~~8~~~9~~~10~~~11~~~12
\end{eqnarray}\)
また、各群には \(2n\) 個の項があるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、偶数の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2+4+6+\cdots+2(n-1)
\\[5pt]~~~&=&2\left\{1+2+3+\cdots+(n-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)
よって、第 \(n\) 群の最初の項は、初項から数えて、
第 \((n-1)\,n+1\) 項となるので、
\(l=(n-1)\,n+1\) として、\(a_l=l\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(n-1)n+1
\\[5pt]~~~&=&n^2-n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(1^2-1+1=1\)
これは第 \(1\) 群の最初の項より、\(n=1\) のときも成り立つ
したがって、第 \(n\) 群の最初の項は \(n^2-n+1\) となる
次に、第 \(n\) 群のすべての項の和は、
最初の項が \(n^2-n+1\) であり、公差 \(1\)、項数 \(2n\) となるので、等差数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 2n\cdot\left\{\,2(n^2-n+1)+(2n-1)\cdot 1\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&n\,\left(2n^2-2n+2+2n-1\right)
\\[5pt]~~~&=&n\,(2n^2+1)
\\[5pt]~~~&=&2n^3+n
\end{eqnarray}\)
したがって、第 \(n\) 群のすべての項の和は \(n(2n^2+1)\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04自然数の列を次のような群に分け、第 \(n\) 群には \((2n-1)\) 個の数が入るようにする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~2,\,3,\,4~~|~~5,\,6,\,7,\,8,\,9~~|\\&&~~~~~~~10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,15,\,16~~|~~\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の項を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(2020\) は第何群の第何番目の項か。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1~~|~~2,\,3,\,4~~|~~5,\,6,\,7,\,8,\,9~~|\\&&~~~~~~~10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,15,\,16~~|~~\cdots\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) 第 \(n\) 群の最初の項を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(2020\) は第何群の第何番目の項か。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.40 Training 17
群の番号を \(n\) 、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、数列は自然数の列であり、\(a_l=l\) である
\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~~~~2~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~~4~~|~~5~~~6~~~7~~~8~~~9~~|~~10~~~11~~\cdots
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~~4~~|~~5~~~6~~~7~~~8~~~9~~|~~10~~~11~~\cdots
\end{eqnarray}\)
また、各群には \((2n-1)\) 個の項があるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、奇数の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2n-3)
\\[5pt]~~~&=&(n-1)^2
\end{eqnarray}\)
よって、第 \(n\) 群の最初の項は、初項から数えて、
第 \((n-1)^2+1\) 項となるので、
\(l=(n-1)^2+1\) として、\(a_l=l\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(n-1)^2+1
\\[5pt]~~~&=&n^2-2n+1+1
\\[5pt]~~~&=&n^2-2n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(1^2-2\cdot 1+2=1\)
これは第 \(1\) 群の最初の項より、\(n=1\) のときも成り立つ
したがって、第 \(n\) 群の最初の項は \(n^2-2n+2\) となる
次に、\(2020\) が第 \(n\) 群にあるとすると、
第 \(n\) 群の最初の項 \({\small ~≦~}\) \(2020\) \(\lt \) 第 \((n+1)\) 群の最初の項
\(\small [\,1\,]\) より、第 \((n+1)\) 群の最初の項は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(n+1)^2-2(n+1)+2
\\[5pt]~~~&=&n^2+2n+1-2n-2+2
\\[5pt]~~~&=&n^2+1
\end{eqnarray}\)
よって、不等式は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2-2n+2{\small ~≦~}2020\lt n^2+1\end{eqnarray}\)
\(n^2+1\gt 2020\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&\gt &2019
\\[5pt]~~~n&\gt &\sqrt{2019}
\\[5pt]~~~n&\gt &44.9\cdots
\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数より、\(n{\small ~≧~}45\)
\(n=45\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&45^2-2\cdot 45+2
\\[5pt]~~~&=&2025-90+2
\\[5pt]~~~&=&1937
\end{eqnarray}\)
\(1937{\small ~≦~}2020\) より、\(n=45\) は成り立つ
したがって、\(2020\) は第 \(45\) 群にある
第 \(45\) 群の最初の項は \(1937\) なので、\(2020\) は第 \(45\) 群の、
\(\begin{eqnarray}~~~2020-1937+1=84\end{eqnarray}\)
したがって、\(2020\) は第 \(45\) 群の第 \(84\) 番目の項である
