分数タイプの群数列

分数の分母を群の番号 \(n\) として、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~~1~~~~|~~~~~~~~2~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~~1~~~~|~~~~2~~~~~~3~~~|~~~~4~~~~~~5~~~~~~6~~~|~~~7~~~
\\[3pt]a_l~&~|~&~\frac{\,1\,}{\,1\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,2\,}~~~\frac{\,2\,}{\,2\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,3\,}~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}~~~\frac{\,3\,}{\,3\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,4\,}~~~
\end{eqnarray}\)

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また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項があるので、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,20\,}\) は第 \(20\) 群の最初の項となる

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第 \(1\) 群から第 \(19\) 群までの項の個数は、
初項 \(1\)、末項 \(19\)、項数 \(19\) の等差数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&& 1+2+\cdots+19
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\cdot(1+19)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 19\cdot 20
\\[5pt]~~~&=&190
\end{eqnarray}\)

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よって、第 \(20\) 群の最初の項は、はじめから数えて \(190+1=191\) 項目である

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したがって、\( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,20\,} \) は第 \(191\) 項

 
 

次に、第 \(200\) 項目の分数が第 \(n\) 群の \(k\) 番目にあるとすると、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

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また、第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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第 \(200\) 項目が第 \(n\) 群にあることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n\lt ~&200&{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~(n-1)\,n \lt ~&400&{\small ~≦~}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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\(19{\, \small \times \,}20=380\) 、\(20{\, \small \times \,}21=420\) より、この不等式を満たす自然数 \( n \) は \( n=20 \) である

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よって、第 \(20\) 群にあり、第 \(20\) 群の最初の項は第 \(191\) 項であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&\hspace{57pt}20
\\[1pt]l~&~|~&~~191~~~~192~~~~193~~~~\cdots~~~200
\\[3pt]a_l~&~|~&~~\frac{\,1\,}{\,20\,}~~~\frac{\,2\,}{\,20\,}~~~\frac{\,3\,}{\,20\,}~~~\cdots~~\frac{\,k\,}{\,20\,}
\end{eqnarray}\)

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これより、

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　\(k=200-191+1=10\)

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したがって、第 \(200\) 項は、\(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,20\,}\)