分数タイプの群数列

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.50 章末問題B 8
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.47 章末問題B 9

\({\small (1)}~\)分数の分母を群の番号 \(n\) として、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~~~1~~~|~~~~~~~2~~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~~~1~~~|~~~~2~~~~~~3~~~|~~~~4~~~~~~5~~~~~~6~~~~|~~~7~
\\[3pt]a_l~&~|~&~\frac{\,1\,}{\,1\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,2\,}~~~\frac{\,2\,}{\,2\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,3\,}~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}~~~\frac{\,3\,}{\,3\,}~~|~~\frac{\,1\,}{\,4\,}~~~
\end{eqnarray}\)

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また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項があるので、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\) は第 \(10\) 群の \(3\) 番目の項となる

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第 \(1\) 群から第 \(9\) 群までの項の個数は、
初項 \(1\)、末項 \(9\)、項数 \(9\) の等差数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&& 1+2+\cdots+9
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 9\cdot(1+9)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 9\cdot 10
\\[5pt]~~~&=&45
\end{eqnarray}\)

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よって、第 \(10\) 群の最初の項は、はじめから数えて \(45+1=46\) 項目である

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したがって、\( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,} \) は第 \(45+3=48\) 項

 

\({\small (2)}~\)第 \(100\) 項目の分数が第 \(n\) 群の \(k\) 番目にあるとすると、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

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また、第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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第 \(100\) 項目が第 \(n\) 群にあることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n\lt ~&100&{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~(n-1)\,n \lt ~&200&{\small ~≦~}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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\(13{\, \small \times \,}14=182\) 、\(14{\, \small \times \,}15=210\) より、この不等式を満たす自然数 \( n \) は \( n=14 \) である

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よって、第 \(14\) 群にあり、第 \(14\) 群の最初の項は第 \(91+1=92\) 項であるので、

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\(\begin{eqnarray}~n~&~|~&\hspace{57pt}14
\\[1pt]l~&~|~&~~~92~~~~~~93~~~~~~~94~~~~\cdots~~100
\\[3pt]a_l~&~|~&~~\frac{\,1\,}{\,14\,}~~~\frac{\,2\,}{\,14\,}~~~\frac{\,3\,}{\,14\,}~~~\cdots~~\frac{\,k\,}{\,14\,}
\end{eqnarray}\)

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これより、

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　\(k=100-91=9\)

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したがって、第 \(100\) 項は、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,14\,}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.45 練習問題B 12
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.55 Level Up 8

\({\small (1)}~\)分数の分母を群の番号 \(n\) として、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、

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また、第 \(n\) 群には \(n+1\) 個の項があり、分母は \(n+2\) であるので、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,17\,}\) は第 \(17-2=15\) 群の最初の項となる

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第 \(1\) 群から第 \(14\) 群までの項の個数は、
初項 \(2\)、末項 \(15\)、項数 \(14\) の等差数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&& 2+3+\cdots+15
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 14\cdot(2+15)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 14\cdot 17
\\[5pt]~~~&=&119
\end{eqnarray}\)

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よって、第 \(15\) 群の最初の項は、はじめから数えて \(119+1=120\) 項目である

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したがって、\( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,17\,} \) は第 \(120\) 項

 

\({\small (2)}~\)第 \(200\) 項目の分数が第 \(n\) 群の \(k\) 番目にあるとすると、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&2+3+4+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{2+n\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)(n+2)
\end{eqnarray}\)

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また、第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&2+3+\cdots+(n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+3)
\end{eqnarray}\)

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第 \(200\) 項目が第 \(n\) 群にあることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)(n+2)\lt ~&200&{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+3)
\\[5pt]~~~(n-1)(n+2) \lt ~&400&{\small ~≦~}n(n+3)
\end{eqnarray}\)

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\(18{\, \small \times \,}21=378\) 、\(19{\, \small \times \,}22=418\) より、この不等式を満たす自然数 \( n \) は \( n=19 \) である

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よって、第 \(19\) 群にあり、第 \(19\) 群の最初の項は第 \(189+1=190\) 項であるので、

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\(\begin{eqnarray}~n~&~|~&\hspace{57pt}19
\\[1pt]l~&~|~&~~~190~~~~191~~~~192~~~\cdots~~~200
\\[3pt]a_l~&~|~&~~\frac{\,1\,}{\,21\,}~~~\frac{\,2\,}{\,21\,}~~~\frac{\,3\,}{\,21\,}~~~\cdots~~\frac{\,k\,}{\,21\,}
\end{eqnarray}\)

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これより、

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　\(k=200-189=11\)

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したがって、第 \(200\) 項は、\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,21\,}\)