自然数がn個続く群数列

数研出版｜数学Ｂ[710] p.33 問題 8

\({\small (1)}~\)自然数の値を群番号 \(n\) として、初めから数えた項の順番を \(l\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~2~~~~~|~~~~~~~3~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~|~~4~~~5~~~6~~~|~~~7~~~
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~|~~2~~~2~~|~~3~~~3~~~3~~~|~~~4~~~
\end{eqnarray}\)

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また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項がある

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第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数の和は、自然数の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

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よって、第 \(n\) 群の最初の項は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) 番目である

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したがって、自然数 \(n\) が初めて現れるのは \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) 項目である

 

\({\small (2)}~\)第 \(100\) 項目が第 \(n\) 群にあるとすると、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

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また、第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の個数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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第 \(100\) 項目が第 \(n\) 群にあることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n\lt &100&{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~(n-1)\,n \lt &200&{\small ~≦~}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

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\(13{\, \small \times \,}14=182\) 、\(14{\, \small \times \,}15=210\) より、この不等式を満たす自然数 \( n \) は \( n=14 \) である

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したがって、第 \(100\) 項は第 \(14\) 群にあるので、

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　第 \(100\) 項目は \(14\) である