階差数列をもつ数列の漸化式

\(a_{n+1}-a_n=2n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2k
\\[5pt]~~~&=&1+2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~~~~&=&1+2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&1+(n-1)\cdot n
\\[5pt]~~~&=&n^2-n+1~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-1+1=1
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=n^2-n+1\) となる

 
 

\(a_{n+1}-a_n=2^n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2^n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^k\) は、初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,2\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,2^n-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2^n~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,2\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=2^n\) となる