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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 個のサイコロを \(n\) 回投げるとき、\(1\) の目が偶数回出る確率を \(p_n\) とする。ただし、\(0\) は偶数と考える。\(p_1\) を求めよ。また、\(p_n\) を \(n\) の式で表せ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.38 研究 練習1
サイコロを \(1\) 回投げて1の目が偶数回出る確率は、
\(p_1=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
また、\( n \) 回投げたとき、
1の目が偶数回出る確率は \( p_n \)
1の目が奇数回出る確率は \( 1-p_n \)
ここで、\( n+1 \) 回投げたとき、1の目が偶数回出る確率 \( p_{n+1} \) は、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回目までに1の目が偶数回出て、\( n+1 \) 回目に1の目以外が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} p_n
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( n \) 回目までに1の目が奇数回出て、\( n+1 \) 回目に1の目が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-p_n){\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}p_n
\end{eqnarray}\)
この2つの事象があるので、和の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}p_n+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}p_n\right)
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
これより、\( p_1=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}~,~p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となるので、
\( p_{n+1}=c~,~\ p_n=c \) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~6c&=&4c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~6c&=&4c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\( p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,\left(p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) とおくと、
\( q_{n+1}=p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\(q_1=p_1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}q_n,\quad q_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
初項 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) の等比数列の一般項より、
\(\begin{eqnarray}~~~q_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) より、数列 \(\{p_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~p_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle\mathrm{ABC}\) の頂点を移動する点 \(\mathrm{P}\) がある。点 \(\mathrm{P}\) は \(1\) つの頂点に達してから \(1\) 秒後に、他の \(2\) つの頂点のいずれかに等しい確率で移動する。初め頂点 \(\mathrm{A}\) にいた点 \(\mathrm{P}\) が、\(n\) 秒後に頂点 \(\mathrm{B}\) にいる確率を \(p_n\) とする。\(p_n\) を \(n\) の式で表せ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.38 研究 練習2
1秒後に点Pが頂点Bにいる確率は、
\(p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
また、\( n \) 秒後において、
点Pが頂点Bにいる確率は \( p_n \)
点Pが頂点Cにいる確率は \( p_n \)（対称性より）
点Pが頂点Aにいる確率は \( 1-2p_n \)
ここで、\( n+1 \) 秒後に点Pが頂点Bにいる確率 \( p_{n+1} \) は、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 秒後に頂点Aにいて、\( n+1 \) 秒後に頂点Bに移動するとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2p_n) {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-p_n
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( n \) 秒後に頂点Cにいて、\( n+1 \) 秒後に頂点Bに移動するとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n
\end{eqnarray}\)
この2つの事象があるので、和の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-p_n\right)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n
\\[5pt]~~~&=& -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、\( p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~p_{n+1}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) となるので、
\( p_{n+1}=c~,~\ p_n=c \) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2c&=&-c+1
\\[5pt]~~~3c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2c&=&-c+1
\\[5pt]~~~3c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\( p_{n+1}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=& -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\left(p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \) とおくと、
\( q_{n+1}=p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \)
\(q_1=p_1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~q_{n+1}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}q_n,\quad q_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
初項 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列の一般項より、
\(\begin{eqnarray}~~~q_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \) より、数列 \(\{p_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~p_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(24\) 時間に \(1\) 回服用する薬がある。この薬を \(1\) 回服用すると、服用直後の体内の薬の有効成分は \(100\,\mathrm{mg}\) 増加する。また、体内に入った薬の有効成分の量は \(24\) 時間ごとに \(20\,\%\) になる。\(1\) 回目に薬を服用した直後の体内の有効成分の量が \(100\,\mathrm{mg}\) であるとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(n\) 回目に薬を服用した直後の体内の有効成分の量を \(a_n\,\mathrm{mg}\) とするとき、\(a_{n+1}\) を \(a_n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a_n\) を \(n\) の式で表せ。
\({\small (1)}~\) \(n\) 回目に薬を服用した直後の体内の有効成分の量を \(a_n\,\mathrm{mg}\) とするとき、\(a_{n+1}\) を \(a_n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(a_n\) を \(n\) の式で表せ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.49 問題 13
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 20
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.47 章末問題B 12
\({\small (1)}~\)1回目に薬を服用した直後の体内の有効成分の量は、
\(a_1=100 \)
2回目に薬を服用した直後は、\(24\) 時間後に \(20\,\%\) になり、服用で \(100\,\mathrm{mg}\) 増加するので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&100{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+100
\\[5pt]~~~&=&20+100
\\[5pt]~~~&=&120
\end{eqnarray}\)
3回目に薬を服用した直後は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&120{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+100
\\[5pt]~~~&=&24+100
\\[5pt]~~~&=&124
\end{eqnarray}\)
また、\( n \) 回目に薬を服用した直後において、
体内の有効成分の量は \( a_n\,\mathrm{mg} \)
ここで、\( n+1 \) 回目に薬を服用した直後の有効成分の量 \( a_{n+1} \) は、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回目の服用から \(24\) 時間後、有効成分は \(20\,\%\) になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} a_n
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( n+1 \) 回目の服用により、\(100\,\mathrm{mg}\) 増加するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100
\end{eqnarray}\)
よって、漸化式は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)これより、\( a_1=100~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100 \) となるので、
\( a_{n+1}=c~,~\ a_n=c \) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}c+100
\\[5pt]~~~5c&=&c+500
\\[5pt]~~~4c&=&500
\\[5pt]~~~c&=&125
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}c+100
\\[5pt]~~~5c&=&c+500
\\[5pt]~~~4c&=&500
\\[5pt]~~~c&=&125
\end{eqnarray}\)
\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100 \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-125&=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\left(a_n-125\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_n-125 \) とおくと、
\( b_{n+1}=a_{n+1}-125 \)
\(b_1=a_1-125=100-125=-25\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}b_n,\quad b_1=-25
\end{eqnarray}\)
初項 \(-25\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\) の等比数列の一般項より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-25\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_n-125 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n-125&=&-25\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&125-5^2\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&125-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{-2}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&125-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-3}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(1\) 個のサイコロを \(n\) 回投げるとき、\(2\) 以下の目が奇数回出る確率 \(p_n\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.48 参考 問1
サイコロを \(1\) 回投げて2以下の目が奇数回出る確率は、
\(p_1=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \)
また、\( n \) 回投げたとき、
2以下の目が奇数回出る確率は \( p_n \)
2以下の目が偶数回出る確率は \( 1-p_n \)
ここで、\( n+1 \) 回投げたとき、2以下の目が奇数回出る確率 \( p_{n+1} \) は、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回目までに2以下の目が奇数回出て、\( n+1 \) 回目に3以上の目が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} p_n
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( n \) 回目までに2以下の目が偶数回出て、\( n+1 \) 回目に2以下の目が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-p_n){\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}p_n
\end{eqnarray}\)
この2つの事象があるので、和の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}p_n\right)
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
これより、\( p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \) となるので、
\( p_{n+1}=c~,~\ p_n=c \) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3c&=&c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3c&=&c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\( p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\left(p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) とおくと、
\( q_{n+1}=p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\(q_1=p_1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}q_n,\quad q_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
初項 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の等比数列の一般項より、
\(\begin{eqnarray}~~~q_n&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) より、数列 \(\{p_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~p_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
