このページは、「bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
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bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
\(a_1=2~,~~a_{n+1}=2a_n-n+1\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
\({\small (1)}~\) \(a_{n+1}-a_n=b_n\) とおく。数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.50 演習問題B 3
\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}=2a_n-n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2a_1-1+1
\\[3pt]~~~&=&2\cdot2-1+1=4
\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) を \(n\to n+1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}&=&2a_{n+1}-(n+1)+1
\\[3pt]~~~&=&2a_{n+1}-n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+2}&=&2a_{n+1}-n \\
-\big{)}~~~~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n-n+1\\
\hline a_{n+2}-a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-a_n\right)-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=a_{n+1}-a_n\) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\(b_1=a_2-a_1=4-2=2\)
\((\,∵~ a_2=4~,~a_1=2\,)\)
これより、\({\small [\,3\,]}\) は \(b_n\) の漸化式となり、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&2b_n-1~,~b_1=2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~c&=&2c-1
\\[3pt]~-c&=&-1
\\[3pt]~c&=&1
\end{eqnarray}\)
\(b_{n+1}=2b_n-1\) を式変形すると、
\(b_{n+1}-1=2\,(b_n-1)\)
ここで、\(c_n=b_n-1\) とおくと、
\(c_{n+1}=b_{n+1}-1\)
\(c_1=b_1-1=2-1=1\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~c_{n+1}&=&2c_n~,~c_1=1\end{eqnarray}\)
初項が \(1\)、公比が \(2\) の等比数列となるので、
\(c_n=1\cdot2^{n-1}=2^{n-1}\)
\(c_n=b_n-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~b_n-1&=&2^{n-1}
\\[3pt]~b_n&=&2^{n-1}+1
\end{eqnarray}\)
したがって、\(b_n=2^{n-1}+1\) となる
\({\small (2)}~\)\(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) は階差数列 \(\{b_n\}\) をもつので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(2^{k-1}+1\right)
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1
\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}+(n-1)
\\[5pt]~&=&2+2^{n-1}-1+n-1
\\[3pt]~~~&=&2^{n-1}+n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^0+1=1+1=2\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,4\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=2^{n-1}+n\) となる
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) \(b_n=a_{n+1}-a_n\) とおくとき、\(b_{n+1}\) を \(b_n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 11
\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}=2a_n-3n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\({\small [\,1\,]}\) を \(n\to n+1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}&=&2a_{n+1}-3(n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+2}&=&2a_{n+1}-3(n+1) \\
-\big{)}~~~~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n-3n\\
\hline a_{n+2}-a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-a_n\right)-3~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=a_{n+1}-a_n\) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
これより、\({\small [\,3\,]}\) は \(b_n\) の漸化式となり、
したがって、\(b_{n+1}=2b_n-3\) となる
\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}=2a_n-3n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2a_1-3\cdot1
\\[3pt]~~~&=&2\cdot1-3=-1
\end{eqnarray}\)
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) とおくと、
\(b_1=a_2-a_1=-1-1=-2\)
\((\,∵~ a_2=-1~,~a_1=1\,)\)
\({\small (1)}\) より、\(b_n\) の漸化式は、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&2b_n-3~,~b_1=-2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~c&=&2c-3
\\[3pt]~-c&=&-3
\\[3pt]~c&=&3
\end{eqnarray}\)
\(b_{n+1}=2b_n-3\) を式変形すると、
\(b_{n+1}-3=2\,(b_n-3)\)
ここで、\(c_n=b_n-3\) とおくと、
\(c_{n+1}=b_{n+1}-3\)
\(c_1=b_1-3=-2-3=-5\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~c_{n+1}&=&2c_n~,~c_1=-5\end{eqnarray}\)
初項が \(-5\)、公比が \(2\) の等比数列となるので、
\(c_n=-5\cdot2^{n-1}\)
\(c_n=b_n-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~b_n-3&=&-5\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~b_n&=&-5\cdot2^{n-1}+3
\end{eqnarray}\)
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) は階差数列 \(\{b_n\}\) をもつので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(-5\cdot2^{k-1}+3\right)
\\[5pt]~&=&1-5\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}3
\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~&=&1-5\cdot\displaystyle \frac{\,1\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}+3(n-1)
\\[5pt]~&=&1-5\cdot2^{n-1}+5+3n-3
\\[3pt]~~~&=&-5\cdot2^{n-1}+3n+3~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&-5\cdot2^0+3\cdot1+3=-5+6=1\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,4\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=-5\cdot2^{n-1}+3n+3\) となる
