- 数学B｜数列「bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式
数列 53☆漸化式 \(a_1=3 ~,~\)\(na_{n+1}=(n+1)a_n+2n(n+1)\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式
Point：bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式
① 漸化式の両辺を \( n(n+1) \) で割る。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n a_{n+1}\,}{\,n(n+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\, (n+1) a_n \,}{\, n(n+1) \,}+\displaystyle \frac{\, 2n(n+1) \,}{\, n(n+1) \,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}+2
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&b_n+2~,~b_1=3\end{eqnarray}\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) と置き換える漸化式は、
① 漸化式の両辺を \( n(n+1) \) で割る。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n a_{n+1}\,}{\,n(n+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\, (n+1) a_n \,}{\, n(n+1) \,}+\displaystyle \frac{\, 2n(n+1) \,}{\, n(n+1) \,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}+2
\end{eqnarray}\)
② \( b_n \) と \( b_{n+1} \) で置き換えた漸化式をつくり、\(b_1\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&b_n+2~,~b_1=3\end{eqnarray}\)
③ 漸化式を解き一般項 \( b_n \) を求め、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) から一般項 \( a_n \) を求める。
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式
数列 53☆
漸化式 \(a_1=3 ~,~\)\(na_{n+1}=(n+1)a_n+2n(n+1)\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
\(n a_{n+1}=(n+1)a_n+2n(n+1) \) の両辺を \( n(n+1) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n a_{n+1}\,}{\,n(n+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\, (n+1)a_n \,}{\, n(n+1) \,}+\displaystyle \frac{\, 2n(n+1) \,}{\, n(n+1) \,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}+2
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,} \)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}=3 \hspace{20pt}(\,∵~ a_1=3 \,)\)
これより、
\( b_{n+1}=b_n+2~,~b_1=3 \)
初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3+(n-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+1
\end{eqnarray}\)
\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}&=&2n+1
\\[5pt]~~~a_n&=&2n^2+n
\end{eqnarray}\)
