このページは、「bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) がある。
\(a_1=1~,~na_{n+1}-2(n+1)a_n=n(n+1)\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}=b_n\) とおく。数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(a_1=1~,~na_{n+1}-2(n+1)a_n=n(n+1)\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}=b_n\) とおく。数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.50 演習問題B 5
\(na_{n+1}-2(n+1)a_n=n(n+1) \) を変形して、
\(na_{n+1}=2(n+1)a_n+n(n+1) \)
両辺を \( n(n+1) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n a_{n+1}\,}{\,n(n+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\, 2(n+1)a_n \,}{\, n(n+1) \,}+\displaystyle \frac{\, n(n+1) \,}{\, n(n+1) \,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,n\,}+1
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,} \)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1 \hspace{20pt}(\,∵~ a_1=1 \,)\)
これより、
\( b_{n+1}=2b_n+1~,~b_1=1 \)
特性方程式 \(\alpha=2\alpha+1\) より \(\alpha=-1\) なので、
\( b_{n+1}-(-1)=2(b_n-(-1)) \)
\( b_{n+1}+1=2(b_n+1) \)
初項 \(b_1+1=2\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+1&=&2\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~b_n+1&=&2^n
\\[3pt]~~~b_n&=&2^n-1
\end{eqnarray}\)
\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}&=&2^n-1
\\[5pt]~~~a_n&=&n(2^n-1)
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) がある。
\(a_1=1~,~na_{n+1}=2(n+1)a_n\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
\({\small (1)}~\) \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}\) とするとき、数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(a_1=1~,~na_{n+1}=2(n+1)a_n\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\)
\({\small (1)}~\) \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}\) とするとき、数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.49 章末問題A 6
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.47 章末問題B 13
\(na_{n+1}=2(n+1)a_n \) の両辺を \( n(n+1) \) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n a_{n+1}\,}{\,n(n+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\, 2(n+1)a_n \,}{\, n(n+1) \,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,n+1\,} \)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1 \hspace{20pt}(\,∵~ a_1=1 \,)\)
これより、
\( b_{n+1}=2b_n~,~b_1=1 \)
初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}&=&2^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&n\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
