このページは、「bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
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bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01 \(a_1=1~,~a_{n+1}-3a_n=2^{n+1}\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots\cdots)\)
\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots\cdots)\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.50 章末問題B 11(2)
\(a_{n+1}=3a_n+2^{n+1}\) の両辺を \(2^{n+1}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+ \displaystyle \frac{\,2^{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3a_n\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}+1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+1
\end{eqnarray}\)
ここで \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2^{1}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=1\,)\)
これより、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,b_n+1~,~b_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(b_{n+1}=c~,~b_n=c\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,c+1
\\[5pt]~~~c-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,c&=&1
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&-2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,c+1
\\[5pt]~~~c-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,c&=&1
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&-2
\end{eqnarray}\)
\( b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,b_n+1 \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}+2&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,(b_n+2)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( c_n=b_n+2 \) とおくと、
\(c_{n+1}=b_{n+1}+2\)
\(c_1=b_1+2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
これより、
\( c_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot c_n~,~c_1=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \)
数列 \(\{c_n\}\) は、初項 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~c_n&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 3^{n-1}\,}{\,2^{n}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\( c_n=b_n+2 \) より、数列 \(\{b_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+2&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 3^{n-1}\,}{\,2^{n}\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 3^{n-1}\,}{\,2^{n}\,}-2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 3^{n-1}-2^{n+1}\,}{\,2^{n}\,}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 3^{n-1}-2^{n+1}\,}{\,2^{n}\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&5\cdot 3^{n-1}-2^{n+1}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a_1=3~,~a_{n+1}=5a_n+2\cdot 3^{n}\)\(~~(n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) で定められた数列 \(\{a_n\}\) がある。
\({\small (1)}~\) \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}\) とおくとき、\(b_{n+1}\) と \(b_n\) の関係式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(b_n\) を利用して \(a_n\) を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}\) とおくとき、\(b_{n+1}\) と \(b_n\) の関係式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(b_n\) を利用して \(a_n\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.55 Level Up 10
\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}=5a_n+2\cdot 3^{n}\) の両辺を \(3^{n+1}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,3^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5a_n\,}{\,3^{n+1}\,}+ \displaystyle \frac{\,2\cdot 3^{n}\,}{\,3^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,3^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5a_n\,}{\,3\cdot 3^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,3^{n+1}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
ここで \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,3^{n+1}\,}\)
これより、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~b_{n+1}+1&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1
\\[5pt]~~~b_{n+1}+1&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~b_{n+1}+1&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(b_n+1)
\end{eqnarray}\)
ここで \(c_n=b_n+1\) とおくと、
\(c_{n+1}=b_{n+1}+1\)
\(\begin{eqnarray}~~~c_1&=&b_1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,3^{1}\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}+1=2\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=3\,)
\end{eqnarray}\)
これより、
\(c_{n+1}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}c_n~,~c_1=2\)
初項 \(2\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~c_n&=&2\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 5^{n-1}\,}{\,3^{n-1}\,}
\end{eqnarray}\)
\(c_n=b_n+1\) より、\(b_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+1&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 5^{n-1}\,}{\,3^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 5^{n-1}\,}{\,3^{n-1}\,}-1
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 5^{n-1}-3^{n-1}\,}{\,3^{n-1}\,}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3^{n}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 5^{n-1}-3^{n-1}\,}{\,3^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}(2\cdot 5^{n-1}-3^{n-1})\,}{\,3^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&3(2\cdot 5^{n-1}-3^{n-1})
\\[5pt]~~~a_n&=&6\cdot 5^{n-1}-3^{n}
\end{eqnarray}\)
