このページは、「bₙ=1/aₙと置き換える漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
bₙ=1/aₙと置き換える漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle \frac{1}{a_n}=2n+3\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{1}{a_n}=b_n\) とおく。数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.49 問題 10
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle \frac{1}{a_n}=2n+3\) より、\(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}-b_n=2n+3\)
\(b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}=3\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,)\)
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、階差数列の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&b_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&3+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)n+3(n-1)
\\[5pt]~~~&=&3+(n-1)n+3(n-1)
\\[5pt]~~~&=&3+(n-1)(n+3)
\\[5pt]~~~&=&3+n^2+2n-3
\\[5pt]~~~&=&n^2+2n
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、
\(b_n=n^2+2n=1+2=3=b_1\)
より、\(n=1\) のときも成り立つ
したがって、数列 \(\{b_n\}\) の一般項は、
\(b_n=n^2+2n\)
\({\small (2)}~\)\(b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&n^2+2n
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&n(n+2)
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\,n(n+2)\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
\(a_1=1~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,a_n+3\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{1}{a_n}=b_n\) とおく。数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.50 演習問題A 2
\(a_{n+1}= \displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,a_n+3\,}\) より、両辺の逆数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{a_n+3}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{a_n}{a_n}+\displaystyle \frac{3}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&1+\displaystyle \frac{3}{a_n}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=\displaystyle \frac{1}{1}=1\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=1\,)\)
これより、
\(b_{n+1}=3b_n+1\)
漸化式を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&3b_n+1
\\[5pt]~~~b_{n+1}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&3b_n+1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~b_{n+1}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&3\left(\,b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、初項 \(b_1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot 3^{n-1}
\\[5pt]~~~b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,3^n\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3^n-1\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle \frac{1}{a_n}=2(n+1)\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.50 章末問題B 11(1)
\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle \frac{1}{a_n}=2(n+1)\) より、\(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) とおくと、\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_{n+1}\,}\) より、
\(b_{n+1}-b_n=2(n+1)=2n+2\)
\(b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}=2\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,)\)
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、階差数列の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&b_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2k+2)
\\[5pt]~~~&=&2+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)n+2(n-1)
\\[5pt]~~~&=&2+(n-1)n+2(n-1)
\\[5pt]~~~&=&2+(n-1)(n+2)
\\[5pt]~~~&=&2+n^2+n-2
\\[5pt]~~~&=&n^2+n
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、
\(b_n=n^2+n=1+1=2=b_1\)
より、\(n=1\) のときも成り立つ
\(b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&n^2+n
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&n(n+1)
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\,n(n+1)\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\) で定められた数列 \(\{a_n\}\) がある。
\({\small (1)}~b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) とおくとき、\(b_{n+1}\) を \(b_n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.45 練習問題B 13
>東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.55 Level Up 11
\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}= \displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+3\,}\) より、両辺の逆数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{2a_n+3}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&\displaystyle \frac{2a_n}{a_n}+\displaystyle \frac{3}{a_n}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}&=&2+\displaystyle \frac{3}{a_n}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\)
したがって、
\(b_{n+1}=3b_n+2\)
\({\small (2)}~\)\(b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=\displaystyle \frac{1}{5}\hspace{20pt}(\,∵~ a_1=5\,)\)
漸化式を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&3b_n+2
\\[5pt]~~~b_{n+1}+1&=&3b_n+2+1
\\[5pt]~~~b_{n+1}+1&=&3(\,b_n+1\,)
\end{eqnarray}\)
\(b_n+1\) は、初項 \(b_1+1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+1=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+1&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}\cdot 3^{n-1}
\\[5pt]~~~b_n+1&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 3^n\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 3^n-5\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{1}{a_n}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 3^n-5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\cdot 3^n-5\,}
\end{eqnarray}\)
