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問題｜Sₙとaₙを含む漸化式
数列 56☆数列の和 \(S_n\) と \(a_n\) を含む漸化式 \(S_n=3a_n+n\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
Sₙとaₙを含む漸化式
Point：Sₙとaₙを含む漸化式
① \(n=1\) のときの漸化式と \(S_1=a_1\) より、\(a_1\) の値を求める。
\(S_1=3a_1+1\) と \(S_1=a_1\) より、 \(a_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
② \(S_{n+1}\) と \(a_{n+1}\) の漸化式を求めて、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、\(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&3a_{n+1}+(n+1) \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&3a_n+n\\
\hline S_{n+1}-S_n&=&3a_{n+1}-3a_n+1
\\[5pt] a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
③ \(a_{n+1}\) と \(a_n\) の漸化式より、特性方程式を用いて、一般項 \( a_n \) を求める。
数列の和 \(S_n\) と一般項 \(a_n\) を含む漸化式は、
① \(n=1\) のときの漸化式と \(S_1=a_1\) より、\(a_1\) の値を求める。
\(S_1=3a_1+1\) と \(S_1=a_1\) より、 \(a_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
② \(S_{n+1}\) と \(a_{n+1}\) の漸化式を求めて、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、\(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&3a_{n+1}+(n+1) \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&3a_n+n\\
\hline S_{n+1}-S_n&=&3a_{n+1}-3a_n+1
\\[5pt] a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
③ \(a_{n+1}\) と \(a_n\) の漸化式より、特性方程式を用いて、一般項 \( a_n \) を求める。
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詳しい解説｜Sₙとaₙを含む漸化式
数列 56☆
数列の和 \(S_n\) と \(a_n\) を含む漸化式 \(S_n=3a_n+n\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\( S_n=3a_n+n ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=3a_1+1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&3a_1+1
\\[5pt]~~~-2a_1&=&1
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\small [\,1\,]\) より、\( n\to n+1 \) と書き換えると、
\(S_{n+1}=3a_{n+1}+(n+1) ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&3a_{n+1}+(n+1) \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&3a_n+n\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&3a_{n+1}-3a_n+1
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&3a_{n+1}-3a_n+1
\\[5pt]~~~-2a_{n+1}&=&-3a_n+1
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\( a_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\( a_{n+1}=c\,,~a_n=c \) とする特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}c-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2c&=&3c-1
\\[5pt]~~~-c&=&-1
\\[5pt]~~~~c&=&1
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}c-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2c&=&3c-1
\\[5pt]~~~-c&=&-1
\\[5pt]~~~~c&=&1
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-1&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(a_n-1)
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_n-1 \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\)
\(b_1=a_1-1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
\(\left(\,∵~ a_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)\)
これより、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,b_n \)
初項 \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^n
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_n-1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n-1&=&-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^n
\\[5pt]~~~a_n&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^n\hspace{20pt}\left(=\displaystyle \frac{\,2^n-3^n\,}{\,2^n\,}\right)
\end{eqnarray}\)
