このページは、「Sₙとaₙを含む漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
Sₙとaₙを含む漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~\) \(a_{n+1}\) を \(a_n\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.50 演習問題B 4
\({\small (1)}~\)\( S_n=3n-2a_n ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=3\cdot 1-2a_1=3-2a_1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&3-2a_1
\\[5pt]~~~3a_1&=&3
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\small [\,1\,]\) より、\( n\to n+1 \) と書き換えると、
\(S_{n+1}=3(n+1)-2a_{n+1} ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&3(n+1)-2a_{n+1} \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&3n-2a_n\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&-2a_{n+1}+2a_n+3
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&-2a_{n+1}+2a_n+3
\\[5pt]~~~3a_{n+1}&=&2a_n+3
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a_n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\( a_1=1~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a_n+1 \)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}c+1
\\[5pt]~~~3c&=&2c+3
\\[5pt]~~~c&=&3
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-3&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(a_n-3)
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_n-3 \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+1}-3\)
\(b_1=a_1-3=1-3=-2\)
\(\left(\,∵~ a_1=1\,\right)\)
これより、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,b_n \)
初項 \(-2\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-2\cdot \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&-2\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_n-3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n-3&=&-2\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&3-2\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) \(a_{n+1}=2a_n\) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) 第 \(n\) 項 \(a_n\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.50 章末問題B 10
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.50 章末問題B 11
\({\small (1)}~\)\( S_n=2a_n-1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=2a_1-1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2a_1-1
\\[5pt]~~~-a_1&=&-1
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\small [\,1\,]\) より、\( n\to n+1 \) と書き換えると、
\(S_{n+1}=2a_{n+1}-1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&2a_{n+1}-1 \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&2a_n-1\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&2a_{n+1}-2a_n
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&2a_{n+1}-2a_n
\\[5pt]~~~-a_{n+1}&=&-2a_n
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(a_{n+1}=2a_n\) である
\({\small (2)}~\)\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\( a_1=1~,~a_{n+1}=2a_n \)
数列 \(\{a_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&1\cdot 2^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.45 練習問題B 14
\( S_n=2a_n+1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=2a_1+1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2a_1+1
\\[5pt]~~~-a_1&=&1
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\small [\,1\,]\) より、\( n\to n+1 \) と書き換えると、
\(S_{n+1}=2a_{n+1}+1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&2a_{n+1}+1 \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&2a_n+1\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&2a_{n+1}-2a_n
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&2a_{n+1}-2a_n
\\[5pt]~~~-a_{n+1}&=&-2a_n
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\( a_1=-1~,~a_{n+1}=2a_n \)
数列 \(\{a_n\}\) は、初項 \(-1\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&-1\cdot 2^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&-2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
