このページは、「2つの解をもつ隣接3項間漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つの解をもつ隣接3項間漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a_1=1~,~a_2=4~,~a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.40 発展 練習1(1)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-2a_{n+1}&=&-3\left(a_{n+1}-2a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}+3a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}+3a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-2a_1=4-2\cdot1=2\)、公比 \(-3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2a_n&=&2\cdot(-3)^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}+3a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2+3a_1=4+3\cdot1=7\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+3a_n&=&7\cdot2^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+1}+3a_n&=&7\cdot2^{n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-2a_n&=&2\cdot(-3)^{n-1}\\
\hline 5a_n&=&7\cdot2^{n-1}-2\cdot(-3)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot2^{n-1}-2\cdot(-3)^{n-1}\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a_1=0~,~a_2=1~,~a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.42 発展 練習1(1)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-7x+10&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x-5)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2~,~5
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-7x+10&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x-5)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2~,~5
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-2a_{n+1}&=&5\left(a_{n+1}-2a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}-5a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-5a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-2a_1=1-2\cdot0=1\)、公比 \(5\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2a_n&=&1\cdot5^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}-2a_n&=&5^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-5a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-5a_1=1-5\cdot0=1\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-5a_n&=&1\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~a_{n+1}-5a_n&=&2^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+1}-2a_n&=&5^{n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-5a_n&=&2^{n-1}\\
\hline 3a_n&=&5^{n-1}-2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,5^{n-1}-2^{n-1}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a_1=2~,~a_2=1~,~a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.47 発展 問1(2)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.53 発展 問1(2)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~3
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~3
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-3a_{n+1}&=&-2\left(a_{n+1}-3a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}+2a_{n+1}&=&3\left(a_{n+1}+2a_n\right)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}-3a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2-3a_1=1-3\cdot2=-5\)、公比 \(-2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-3a_n&=&-5\cdot(-2)^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\)より、数列 \(\left\{a_{n+1}+2a_n\right\}\) は、
初項は \(a_2+2a_1=1+2\cdot2=5\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+2a_n&=&5\cdot3^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+1}+2a_n&=&5\cdot3^{n-1}\\
~-\big{)}~~~a_{n+1}-3a_n&=&-5\cdot(-2)^{n-1}\\
\hline 5a_n&=&5\cdot3^{n-1}+5\cdot(-2)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3^{n-1}+(-2)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
